TRANSENDEN

TRANSENDEN

DEFINISI :
FUNGSI : Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain.
Bentuk :
Dimana : y = dependent variabel
a = konstanta
b = koefisian variabel x
x = independent variabel
Jenis – jenis fungsi :
FUNGSI
I

FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON – ALJABAR
(TRANSENDEN)

FUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI RASIONAL



- FUNGSI EKSPONENSIAL
o FUNGSI POLINOM FUNGSI PANGKAT - FUNGSI LOGARITMIK
o FUNGSI LINIER - FUNGSI TRIGONOMETRIK
o FUNGSI KUADRAT - FUNGSI HIPERBOLIK
o FUNGSI KUBIK
o FUNGSI BIKUADRAT





















FUNGSI EKSPONENSIAL
Yaitu : Fungsi yang variable bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol

dimana
Notasi : atau
Dimana e = basis logaritma natural
e = ± 2.71828183
Grafik : Y
Perhatikan :
 Grafik selalu positif sebagai fungsi variabel real
 Nilai bertambah dari kiri ke kanan
 Grafik tidak akan pernah menyentuh sumbu x (namun mendekati sumbu secara asimptotik
X
0

Sifat : Menggunakan logaritma natural, dapat didefinisikan :
Apabila : a =e, maka berlaku : = ex.1 = ex
Rumus – rumus Eksponensial:
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. ax+y = ax.a y
4. a x y= (ax)y
5.
6.
7.
8.
Turunan dan persamaan diferensial

Fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri
Untuk fungsi eksponensial dengan basis lain.

Semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.

Definisi formal :

1. Sebagai deret tak terhingga :

2. Sebagai Limit .

Nilai numerik :

Persamaan Eksponensial

1. maka f(x)=g(x)
2. maka f(x)=0
3. penyelesaian gunakan sifat bilangan berpangkat
4. penyelesaian ada 4 kemungkinan .
4.1.
4.2.
4.3. jika g(x) dan h(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil.
4.4. asalkan g(x)>0 dan h(x)>0

















FUNGSI HIPERBOLIK
Yaitu : Fungsi yang variable bebasnya merupakan bilangan- bilangan goneometrik.
Didefinisikan :
1. x =
2. x =
3. x =
4. x =
5. x =
6. x=
Identitas :
1. Cosh2 x – Sinh2 x = 1
2. 1 – tanh2 x = Sech2x
3. Coth2x-1 = Cosech2x
4. Sinh (x+y) = Sinh x Cosh y + Cosh x Sinh y
5. Cosh (x+y) = Cosh x Cosh y +Sinh x Sinh y
6. Cosh x + Sinh x = ex
7. Cosh x – Sinh x = e-x
8. Sinh 2x = 2 Sinh c Cosh x
9. Cosh 2x = Cosh2x +Sinh2x = 2 Sinh2x+1=2Cosh2x-1
10. Cosh(-x)= Coshx
11. Sinh (-x) = -Sinh x
12. Sinh (x-y) = Sinh x Cosh y – Cosh x Sinh y
13. Cosh (x-y) =Cosh x Cosh y –Sinh x Sinh y
14. tanh (x+y) =
15. tanh (x+y) =
16. tanh 2x =
17. Cosh x =
18. Sinh x =±
19. Sinh x + Sinh y = 2 Sinh
20. Cosh x + Cosh y = 2 Cosh
Turunan dan Integral :
1. Untuk y = Sinh u → y1 = Dx
→ u + c
2. Untuk y = Cosh u → y1= Sinh u.u1 → u du = Cosh u+c
3. Untuk y = tanh u → y1= Sech2 u.u1 → u du = tanh u+c
4. Untuk y = Coth u → y1= Cosech2 u.u1 → u du = - Coth u+c
5. Untuk y = Sech u → y1=-Sech u tanh uu1 → tanh u du = -Sech u+c
6. Untuk y = Cosech u → y1= -Cosech u Coth uu1 → Cosech u Coth u du = -Coshech u+c



























FUNGSI LOGARITMA
Yaitu : Fungsi balik (Inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.

Rumus dasar Logaritma

dimana b = basis/ bilangan pokok
a = Numerus
c = eksponen/ hasil logaritma
grafik:


















ditulis log a
ditulis In a
ditulis Id a
Rumus – Rumus :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Identitas Logaritma
1.
2.
3.
4.
Turunan fungsi logaritma:
atau
Dimana : ln = logaritma natural = logaritma berbasis e

Integral fungsi logaritma :

Integral logaritma berbasis e :
















FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri bermula dengan segitiga tegak yang salah satu sudut tegaknya 90o atau
C r = AC = Sisi terpanjang (hipotenusa) = Sisi Miring
r x = AB = sisi alas
y y = BC = Sisi tegak = sisi depan

A B
x
didefinisikan : Sin = = Sisi depan
Cos = = Sisi alas
Tan = = Sisi depan
Formula :
1. Identitas Pythagoras :
Sin2 A + Cos2 A = 1
1+tan2A = Sec2A
1+Cot2A = Cosec2A
2. Identitas jumlah dan kurang :
Sin (A+B) = SinA Cos B + Cos A SinB
Sin (A-B) = Sin A Cos B – Cos A Sin B
Cos (A+B) = Cos A Cos B – Sin A Sin B
Cos (A-B) = Cos A Cos B + Sin A Sin B
Tan (A+B) =
Tan (A-B) =
3. Identitas sudut ganda
Sin 2ª = 2 Sin A Cos A
Cos 2ª = Cos2A – Sin2A = aCos2A – 1=1 – 2 Sin2A
Tan 2ª =
4. Identitas Sudut setengah
Sin
Cos
Tan
Rumus bagi fungsi Trigonometri
Jika f(x)adalah fungsi sembarang dari trigonometri, maka :
a) f(x)} = Cos f(x).
b) f(x)} = - Sin f(x).f1(x)
c) f(x)} = Sec2 f(x).
d) f(x)} = -Cosec2 f(x).
e) f(x)} = Sec f(x). tan f(x).
f) f(x)} = -Cosec f(x).Cot f(x).
Sedangkan untuk fungsi langsung, sebagai berikut :
a) Sin x = Cos x
b) Cos x = -Sin x
c) tan x = Sec2x
d) Cot x = -Cosec2x
e) Sec x = Sec x . tan x
f) Cosec x = -Cosec x . Cot x
Contoh :
1) Jika f(x) = x tan x, tentukan f1(x) :
Jawaban : f1(x) = 1, tan x + x Sec2x = tan x +x Sec2x
2) Jika f(x) = Sin 2x, tentukan f1(x).
Jawaban : Sin 2 x = Sin x. Sin x
f1(x) = Cos x Sin x + Sin x Cos x = 2 Sin x Cos x
3) Jika f(x) = tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) =
f1(x) =
f1(x) =

4) Jika f(x) = , carilah f1(3)
Jawaban : f1(x) =
f1(x) =
5) Jika y = x2 + 2 Sin x . Carilah y1
Jawaban : y1 = 2x + 2 Cos x
=> y1 = 2 +2 Cos
y1 =
Rumus : Jika U = f(x) dan y = g (4)
Maka :
Contoh :
1) Jika y = (x2 +1)-3, tentukan y1
Jawaban : misalkan y = 4-3 dan U = x2 + 1
Maka : =(-3U -4)(2x)
- 3 (x2 +1)-4 (2x)
-6x (x2+1)-4
2) Jika f(x) = Cos 3x, tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) = (-Sin 3x) (3) = -3 Sin 3x
3) Jika f(x) = Cos3x, tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) = 3 (Cos x)2 ( - Sin x)
f1(x) = -3 Cos2x Sin x
4) Jika y = U3 – 2U dan U = x -
Cari y1 = untuk x = 2
Jawaban :
(3U2 – 2) (1+ )
Bila x = 2, maka U = 2 - =
Jadi :

5) Jika y = f (x2 + 1) dan diberi f1(x) =
Tentukan
Jawaban : f1 (x2+1)(2x) =
Rumus: Jika y = f(u) ; u = f(v) dan v = f(x)
Maka : =
Contoh : Jika y = Cos [x+Sin (x+1)]
Tentukan : y1
Jawaban : Misalkan :v = x +1
U = v – 1+Sin v
y = Cos. U
Maka : y1 = =
y1 = -Sin U. (1+Cos v).1
y1 = - Sin [x+Sin(x+1)].[1+Cos(x+1)]
Turunan lebih tinggi
Penulisan :
Turunan kedua : y11
Turunan ketiga : y111 =
Turunan keempat : y(4) =
.............................dst
Contoh :
(1). Carilah turunan ketiga dari : y = tan 3x
Jawaban : y1 = 3 Sec23x
y11 = 3 (2 Sec 3x) (3 Sec 3x. tan 3x)
y11 = 18 Sec23 x tan 3x .
y111 = 18 (2 Sec 3x) (3 Sec 3 x tan 3x) tan 3x + 18 Sec23x ( 3 Sec23x)
y111= 108 Sec2 3x tan2 3x + 54 Sec4 3x
(2). Carilah turunan ke – n dari f(x) =


Jawaban :










(3).Cari turunan ke-empat dari : f(t) = t2 -
Jawaban :