APROKSIMASI (METODE NUMERIK)

1.METODE BISEKSI = METODE BAGI DUA
(BISECTION METHOD)


Menggunakan taksiran nilai akar baru
Rumus = x0 = a+b atau c = a+b
2 2
Untuk mengawali hal ini, kita mengambil nilai x dari f(x) yang saling berbeda tanda, terus lanjut (berulang) sampai keakuratan yang diinginkan dicapai (dapat diketahui dari kesalahan relative semu).

Kesalahan relative semu = Perkiraan sebelum – Perkiraan berikut
Perkiraan berikut
Contoh : Carilah akar-akar persamaan dari f(x) = x3 – x – 1 = 0
Jawaban : f(x) = x3 – x – 1
f(1) = 13 – 1- 1 = -1 => -1<0
f(2) = 23 – 2 - 2 = 8-2-1=5 => 5>0
Karena -1 dan 5 saling berbeda tanda, maka f(x) = 0 terletak antara x = 1 dan x = 2.
Selanjutnya gunakan rumus diatas : x0 = 1+2 = 1,5 = 3/2
2
Masukan ke fungsi : f (3/2) = (3/2)3 – (3/2) – 1 = 7/8 => 7/8 > 0
Ambil : x1 = 1+3/2 = 1,25 = 5/4 => f (5/4) = (5/4)3 – (5/4) – 1
2
=> f (5/4) = 125 – 5/4 -1 = -19/64
64
x2 = 1,5 +1,25 = 1,375 => f (1,375) = (1,375)3 – (1,375) – 1 = .........
2
x3 = 1,25+1,375 = 1,3125 => f (1,3125) = (1,3125)3 – (1,3125) – 1 =
2
x4 = 1,375 + 1,3125 = 1,34375 => f (1,34375) = (1,34375)3 – (1,34375) – 1
2
x5 = 1,3125+1,34375 = 1,327125 => f (1,327125) =
2
Tabel biseksi diatas :
Iterasi a b x f(x) f(q)
1
2
3 1
1
1,5 2
1,5
1,25 1,5
1,25
1,375 7/8
-19/64 -1
-1
Menghentikan iterasi , dapat dilakukan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.




2.METODE ITERATIF SEDERHANA
(METODE ITERASI SATU TITIK SEDERHANA)

Metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain, sehingga x = f(x), dapat ditulis dalam bentuk x(n+1) = f(xn) dimana n = 0,1,2,3,........................
Contoh : f(x) = 2x3 – 7x + 2 = 0
=> 7x = 2x3 + 2
=> x = 2x3 +2
7
Kita ambil 0< X<1
Untuk X0 = 1 → f (1) = 4/7 = 0,571
X1 = 0,571 → f (0,571) = 2(0,571)3 +2 = 0,339
7
X2 = 0,339 → f (0,339) = 2(0,339)3+2 = 0,297
7
X3 = 0,279 → f (0,279) = 2(0,279)3+2 = 0,293
7
X4 = 0,293 → f (0,293) = 2(0,293)3+2 = 0,293
7
X5 = 0,293 → .....................sda..........................

Ditulis dalam bentuk tabel :
Iterasi Xn Xn3 2/7 (Xn3+1)
0
1
2
3
4
5 1
0,571
0,339
0,279
0,293
.......... 1
0,186
0,039
0,026
0,025
............. 0,571
0,339
0,297
0,293
0,293
.............

Konvergen ke 0,293 aproksimasi di X = 0,293
f(x)
f(x) = 0 untuk x = -2
0 < x < 1
Konvergen 1 < x < 2
divergen
x
-2 -1 0 1 2








Untuk nilai bulat x = -2, dari f(x) = 2x3 – 7x + 2adalah :
-2 2 0 -7 2
-4 8 -2

2 -4 1 0

f(x) = (x+2) (2x2-4x+1) = 0 akar dari 2x2 – 4x + 1 = 0 didapat
X2,3 = 4 ±√16-8 = 1 ± 1/2 √2 .............(Rumus ABC: X2.3 = -b±√b2-4AC
4 2a
X2 = 0,2922893....................
X3 = 1,707106......................
Akar lain 1< x < 2. Untuk x = 2/7 (xn3 + 1)
Atau xn + 1 = f(xn) = 2/7 (xn3 + 1)
Maka :
X0 = 2 → f(2) = 2/7 (23+1) = 12/7 = 2,571
X1 = 2,571 → f(2,571) = 2/7[(2,571)3+1] = 5,141
X2 = 5,141 → f(5,141) = 2/7[(5,141)3+1] = 39,107
..............................dst
Ternyata x membesar (divergen).
Cara Lain : 2x3 = 7x – 2
x = 7x – 2
2x2
Tabel ;
Iterasi Xn Xn2 7Xn – 2 2Xn2 7Xn – 2
2Xn2
0
1
2
3
..............
22


................. 2
1,5
1,889
1,573
..............
1,709


............ 4
2,25
3,568
2,474
..............
2,922


................... 12
8,5
11,223
9,811
..................
9,963


dst 8
4,5
7,136
4,948
................
5,844


.................. 1,5
1,889
1,573
1,821
dst
1,705


.............

Harga x mendekati 1,707
Secara eksak : 1 + ½ √2 = 1,7077106...................
Dapat juga ditulis : 2X3 = 7x – 2
X2 = 7x-2
2x
X = ( 7x – 2) 1/2
2x
X3 = 7x – 2 X = (7x – 2) 1/3
2 2

Didapat formulasi :
Iterasi Nilai awal Hasil
F(x) = 2/7 (x3 + 1) 1
2 Konvergen
Divergen
F(x) = 7x – 2
2x 1
2 Konvergen
Konvergen
F(x) = ( 7x – 2) ½
2x 1
2 Konvergen
Konvergen
F(x) = (7x – 2) 1/3
2 1
2 Konvergen
Konvergen




































3.METODE ATHEN ∆2
(Percepatan Konvergen)

Dari f(x) = 0 dijadikan x = F(x) dengan mengambil tiga aproksimasi Xi-1, Xi, Xi + 1
Dimana : ∆Xi = Xi + 1 - Xi dan ∆ Xi-1 = Xi-1= Xi – Xi – 1
∆2Xi – 1 = ∆Xi - ∆Xi -1
Apabila dimisalkan x = α yang membuat f(x) = 0
Maka :



Contoh : gunakan Metode Athen ∆2 untuk menghitung akar persamaan : x3 +x - 1/2 = 0
Jawaban : x3 + x - ½ = 0
X= -x3 + 1/2
Untuk : X0 = 0 → X1 = f(0) = ½ = 0,5
X1 = 1/2 → X2 = f(1/2) = -(1/2)3 + ½ = - ⅛ + 4/8 = ⅜ = 0,375
X2 = ⅜ → X3 = f(3/8) = -(3/8)3 + 1/2 = - 27 + 256
512 512
= 229 = 0,447
512
Maka : Xi -1 = X1= 0,5
Xi = X2 = 0,375
Xi + 1 = X3 = 0,447
Jadi : ∆2 Xi – 1 = ∆Xi - ∆i – 1 = 0,375 – 0,5 = - 0,125
α = Xi+1 – (∆Xi)2 = 0,447 – (0,072)2 = 0,423
∆2 Xi-1 0,197



















4.METODE POSISI SALAH (PALSU)

Prinsip : Disekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis lurus. Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar fungsi :


b

f(x)


•
x


garis lurus sebagai pengganti f(x)
p(x)
a
Dari fungsi y = f(x) kita akan mencari f(x) = 0 untuk x.
Misalkan A(X0, f(X0)) dan B(X1, f(X1)), dimana f(X0) > 0 dan f(X1) < 0
Maka : y – f(X0) = X – X0
f(X1) – f(X0) X1 – X0

y – f(X0) = f(X1) – f(X0) (X – X0)
X1 – X0
Rumus : Xn+1 = X0 f(Xn) – Xnf(X0)
f(Xn) – f(X0)
atau :
C = a f(b) – bf(a)
f (b)- f(a)
Jika A (a,f(a) dan B [b, f(b)]
Contoh : Tentukan akar dari 2X3 – 7X+2.
Jawaban : f(x) = 2X3 – 7X +2
Untuk X = 0 → f(0) = 2 (0)3 – 7(0) +2 = 2, ini lebih nol
X = 1 → f(1) = 2 (1)3 – 7(1) +2 = -3, ini kurang dari nol
Maka f(x) antara 0 dan 1
Kita ambil X0 = 0 dan f(x0) = 2
Substitusi ke :
Xn + 1 = X0 f(Xn) – Xnf(X0)
f(Xn) – f(X0)
Menjadi :
Xn + 1 = 0. f(Xn) – 2 Xn
f(Xn) – 2

Xn + 1 = -2Xn
f(Xn)-2
Xn + 1 = -2 Xn
2Xn3 – 7Xn +2 – Z
Xn + 1 = -2Xn
2Xn3 – 7 Xn
Xn + 1 = Xn (-2) = - 2
Xn(2Xn2 – 7) 2X2n – 7
Untuk f(x) = -2 maka F1(x) = 8x
2X2 – 7 (2X2 – 7)2
Untuk X = 0 maka F1 (x) = 0
Untuk X = 1 maka F1 (x) = 8 , ini kurang dari dari 1 (Konvergen)
25
Tabel :
Iterasi (n) Xn 2Xn2 2Xn2 – 7 -2
2Xn2 – 7
0
1
2
3
4 1
0,4
0,299
0,293
0,293 2
0,320
0,179
0,172
.................. -5
- 6,680
- 6,821
- 6,828
........................ 0,4
0,299
0,293
0,293
.....................


Jadi : f(x) = 0, Untuk X = 0,293






















5.METODE NEWTON - RAFHSON

Salah satu Metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x) dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar.
Rumus : Xn+1 = Xn – f(Xn)
f1(Xn)
Contoh : Tentukan aproksimasi akar real dari :
X3 – X2 – 3 = 0
Jawaban: f(x) = X3 – X2 – X – 3
Coba – coba : f(2) = 8 – 4 – 2 – 3 = -1, (kurang dari nol)
f(3) = 27 – 9 – 3 – 3 = 12, (lebih dari nol)
Ambil tengah – tengah antara 2 dan 3 yaitu X0 = 2,5
Rumus : Xn+1 = Xn - f(Xn)
f1(Xn)
disubstitusikan ke soal, menjadi :
Xn+1 = Xn – X3n – X2n – Xn – 3
3X2n – 2Xn - 1
Tabel Hasil
Iterasi (n) Xn f(Xn) f1(Xn) f(Xn)
f1(Xn)
0
1
2
3
4 2,5
2,196
2,133
2,130
2,130 3,875
0,572
0,022
-0,003
..................... 12,75
9,075
8,383
8,351
.............. 0,304
0,063
0,003
0,000
.............


Jadi akarnya X = 2,130