METODE NUMERIK

METODE NUMERIK

Selisih Terhingga Biasa :
Secara Umum dapat di rumuskan :
∆ f(x) = f(x + h) - f(x)
Apabila dilanjutkan berdasarkan tingkatan dinyatakan dalam bentuk.
∆n f(x) = ∆n-1f(x+h) - ∆n-1f(x)
Contoh, untuk :
Selisih pertama : ∆ f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih kedua : ∆2 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih ketiga : ∆3 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih keempat : ∆4 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
........................................................... dst
Mari kita gunakan rumus tersebut di atas sampai selisih terhingganya mencapai angka-angka konstans :
Contoh : Carilah ekspresi analitik f (x) = x2 + 3
Untuk x = 1 (2) 9
Jawaban : Soal tersebut mengartikan, bahwa dalam fungsi f (x) = x2 + 3, nilai x bergerak mulai angka 1 sampai dengan angka 9 dimana bedanya selalu tetap 2 atau x = { 1,3,5,7,9 }.
Sekarang kita coba cari nilai f (x) = x2+3
f(1) = ( 1 )2 + 3 = 4
f(3) = ( 3 )2 + 3 = 12
f(5) = ( 5 )2 + 3 = 28
f(7) = ( 7 )2 + 3 = 52
f(9) = ( 9 )2 + 3 = 84
Selanjutnya :
Untuk selisih pertama : ∆ f (x) = f (x+h) –f(x)
∆ f (x) = (x+2)2 +3-(x2+3)
∆ f (x) = x2 +4x+4+3-x2-3
∆ f (x) = 4x + 4
Jika x = 1 → ∆ f (x) = 4(1) + 4 = 8
Jika x = 3 → ∆ f (x) = 4(3) + 4 = 16
Jika x = 5 → ∆ f (x) = 4(5) + 4 = 24
Jika x = 7 → ∆ f (x) = 4(7) + 4 = 32
Jika x = 9 → ∆ f (x) = 4(9) + 4 = 40
Maka : f(x) = {8,16,24,32,40}
Untuk selisih kedua :∆2 f (x) = ∆f(x+h)-∆f(x)
∆2 f (x) = 4(x+2) +4-(4x+4)
∆2 f (x) = 4x+8+4-4x-4
∆2 f (x) = 8 (konstans)

Pada tabel berikut :

x F(x) ∆f(x) ∆2f(x)
1
3
5
7
9 4
12
28
52
84 8
16
24
32
40 8
8
8
8
8

Mari kita lihat contoh lainnya :
f(x) = x3+6x2+11x+6
Untuk : 0 (1) 4
Jawaban : x ={0,1,2,3,4}
Maka : f(x) = x3+6x2+11x+6
f(0) = (0)3+6(0)2+11(0)+6=6
f(1) = (1)3+6(1)2+11(1)+6=24
f(2) = (2)3+6(2)2+11(2)+6=56
f(3) = (3)3+6(3)2+11(3)+6=120
f(4) = (4)3+6(4)2+11(4)+6=210
Nilai f(x) = {6,24,56,120,210}
Untuk selisih pertama : ∆ f (x) = f (x+h) –f(x)
∆ f (x) = (x+1)3 + 6 ( x+1)2+11(x+1)+6-(3x3 + 15x+8)
∆ f (x) = x3+9x2+26x+14-x3-6x2-11x-6
∆ f (x) = 3x2+15x+8
Untuk x = {0,1,2,3,4}
∆f(0) = 3(0)2+15(0)+8=8
∆f(1) = 3(1)2+15(1)+8=26
∆f(2) = 3(2)2+15(2)+8=50
∆f(3) = 3(3)2+15(3)+8=80
∆f(4) = 3(4)2+15(4)+8=116

Nilai ∆f(x) = {8,26,50,80,116}
Untuk Selisih kedua : ∆2 f (x) =∆f (x+h) –∆f(x)
∆2 f(x) =3(x+1)2 +15(x+1)+8-(3x2 + 15x+8)
∆2 f(x) = 3x2+21x+26-3x2-15x-8
∆2 f(x) = 6x+18
Untuk x = {0,1,2,3,4}
∆2 f(0) = 6(0)+18 = 18
∆2 f(1) = 6(1)+18 = 24
∆2 f(2) = 6(2)+18 = 30
∆2 f(3) = 6(3)+18 = 36
∆2 f(4) = 6(4)+18 = 42
Nilai ∆2 f(x) = {18,24,30,36,42}
Untuk Selisih ketiga : ∆3 f (x) = ∆f (x+h) –∆f(x)
∆3 f (x) = 6 (x+1) +18–(6x-18)
∆3 f (x) = 6x + 6 +18–6x-18 =42 (konstans)

Pada tabel kita tuliskan :

x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x)
0
1
2
3
4 6
24
56
120
210 8
26
50
80
116 18
24
30
36
42 42
42
42
42
42
n
Rumus : Jika f(x) =∑ ai x i
i = 0
Maka : ∆n f(x) adalah konstans an • n!.hn
Contoh : f(x) = x3-3x2+5x+7
Jawab : 1•3/•23=1•6•8=48

1. Soal : Untuk h = 1
Carilah ekspresi Analitik dari
f(x) = x3-7x2+2x +3
Jawaban : f(x) = x3-7x2+2x +3
∆ f(x) = (x+1)3-7(x+1)2+2(x+1)+3-(x3-7x2+2x+3)
∆ f(x) = x3-4x2-9x-2-x3+7x2-2x-3
∆ f(x) = 3x2 -11x -5
∆2 f(x) = 3(x+1)2-11(x+1)-5-(3x2-11x-5)
∆2 f(x) = 3x2+6x+3-11x-11-5-3x2+11x+5
∆2 f(x) = 6x-8
∆3 f(x) = 6(x+1)-8-(6x-8)
∆3 f(x) = 6x+6-8-6x+8
∆3 f(x) = 6
2.Carilah dua suku berikutnya dari barisan
Uo=5;U1=11;U2=22
U3=40;U4=74;U5=140
Jawaban:



U0, U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7
5, ┬ 11, ┬ 22, ┬ 40, ┬ 74,┬140, ┬ 261,┬ 466
f(x) = 6 ┬ 11 ┬ 18 ┬ 34 ┬ 66 ┬ 12 ┬ 206
∆f(x) = 5 ┬ 7 ┬ 16 ┬ 32 ┬ 55 ┬ 85
∆2f(x) = 2 ┬ 9 ┬ 16 ┬ 23 ┬ 30
∆3f(x) = 7 7 7 7

3. Carilah ∆ Ux, ∆2Ux dan ∆3Ux untuk fungsi a). Ax3+bx+c
b). Ux = 1
x
Ambil : h = 1
Jawaban :
a) ∆Ux = f(x+1)-f(x)
= a(x-1)3+b(x+1)+c-(ax3+bx+c)
= ax3+3ax2+3ax+a+bx+b+c-ax3-bx-c
= 3ax2+3ax+a+b
∆2Ux= 3a(x-1)2+3a(x+1)+a+b-(3ax2+3ax+a+b)
= 3ax¬2+6ax+3a+3ax+3a+a+b-3ax2-3ax-a-b
= 6ax+6a
∆3Ux=6a( x+1)+6a-(6ax+6a)
= 6ax+6a+6a-6ax-6a
= 6a
b) Ux=1
x
∆Ux= _1_ - 1 = x-(x+1) = x-x-1
x+1 x (x+1) x x(x+1)

= _-1__ = _-1_
x(x+1) x2+x
∆2Ux= _____1_ ___- ( -1 )
(x+1)2 +(x+1) ( x2+x)
= ____-1_____ + __1__
x2+2x+1+x+1 x2 + x
= ___-1___+ __1__ =___-1____+ __1__
x2+3x+2 x2 + x (x+2)(x+1) x(x+1)
= __-x+x+2__ + ____2____
x(x+2)(x+1) (x+2)(x+1)x
∆3Ux = _________2__ ______ - ____2____
[(x+1+2)(x+1+1)(x+1)] (x+2)(x+1)x

= ______2__ ___ - ____2____
(x+3)(x+2)(x+1) (x+2)(x+1)x
= 2x-2(x+3)__ - 2x-2x+3____
(x+3)(x+2)(x+1)x (x+3)(x+2)(x+1)x
= 3 - 3 _
(x+3)(x+2)(x+1)x (x+3)

4. Tentukan selisih kelima dari
f(x) = 4-3x2-2x3+4x5
Untuk x = 0 (2) 20
Jawaban : ∆n f(x) = 4.5.25
∆n f(x) = 4 x 120 x 32= 15360


Selisih Pembagi :
Formula Selisih pembagi Newton :
щx = щa + (x-a) ∆ щa+ (x-a) (x-b) ∆2 щa+ (x-a) (x-b) (x-c) ∆3 щa + .....................
b bc bcd
dimana :
∆ щa = щb – щa
b b-a
∆2 щa = щa + щb + щc
b=c (a-b) (a-c) (b-c) (b-a) (c-a)(c-b)
∆3 щa = щa + щb + щc + щd
bcd (a-b) (a-c)(a-d) (b-a) (b-c) (b-d) (c-a)(c-b) (c-d) (d-a)(d-b)(d-c)
...............................................................................dst
Atau untuk rumus lainnya, bisa kita buat seperti :
∆2 щb = щb + щc + щd¬ _
c-d (b-c)(b-d) (c-d)(c-b) (d-b)(d-c)

∆3 щb = щb _+ щc _ + щd¬ _ + щe _
cde (b-c)(b-d)(b-e) (c-b) (c-d)(c-e) (d-b)(d-c)(d-e) (e-b)(e-c)(c-d)
Contoh :

Щx ∆ щa
b ∆2щa
b c ∆2 щa
b c d
2
0
4
8
6 13
7
43
367
145 3
9
81 3
9

Soal : Untuk k = 1 carilah ekspresi analitik untuk ∆ f(x), ∆2 f(x), dan ∆3 f(x)
1. Jika : f(x) = x3-7x2+2x+3
Jawaban : f(x) = x3-7x2+2x+3
∆f(x) = (x-1)3-7(x+1)2+2(x-1)+3-(x3-7x2+2x+3)
∆f(x) = x3-3x2+3x+1+7x2-14x-7+2x+2+3-x3+7x2-2x-3
∆f(x) = 3x2-11x-4
∆2 f(x) = 3(x+1)2-11(x+1)-4(3x2-11x-4)
∆2 f(x) = 3x2 +6x+3-11x-11-4-3x2+11x+4
∆2 f(x) = 6x-8
∆3 f(x) = 6(x+1)-8-(6x-8)
∆3 f(x) = 6x+6-8-6x+8
∆3 f(x) = 6
2. Carilah dua suku berikutnya dari barisan. Щ = 5, Щ1 = 11, Щ2 = 22, Щ3 = 40,
Щ4 = 74, Щ5 = 140, Щ6 = 261, Щ7 = 467.
Gunakan selisih terhingga untuk mencarinya di derajat berapakah yang nilainya seperti itu
Jawaban :
щ0, щ1, щ2, щ3, щ4, щ5, щ6, щ7, щ8, щ9
f(x) = 5, ┬ 11, ┬ 22, ┬ 40, ┬ 74,┬140, ┬ 261,┬ 467 ┬ 795 ┬ 1289
∆f(x) = 6 ┬ 11 ┬ 18 ┬ 34 ┬ 66 ┬ 121 ┬ 206 ┬ 328 ┬ 494
∆2f(x) = 5 ┬ 7 ┬ 16 ┬ 32 ┬ 55 ┬ 85 ┬ 122 ┬ 166
∆3f(x) = 2 ┬ 9 ┬ 16 ┬ 23 ┬ 30┬ 37 ┬ 44
∆4f(x) = 7 7 7 7 7 7

Dua suku berikutnya 795 dan 1289 derajat 4