1.METODE BISEKSI = METODE BAGI DUA
(BISECTION METHOD)
Menggunakan taksiran nilai akar baru
Rumus = x0 = a+b atau c = a+b
2 2
Untuk mengawali hal ini, kita mengambil nilai x dari f(x) yang saling berbeda tanda, terus lanjut (berulang) sampai keakuratan yang diinginkan dicapai (dapat diketahui dari kesalahan relative semu).
Kesalahan relative semu = Perkiraan sebelum – Perkiraan berikut
Perkiraan berikut
Contoh : Carilah akar-akar persamaan dari f(x) = x3 – x – 1 = 0
Jawaban : f(x) = x3 – x – 1
f(1) = 13 – 1- 1 = -1 => -1<0
f(2) = 23 – 2 - 2 = 8-2-1=5 => 5>0
Karena -1 dan 5 saling berbeda tanda, maka f(x) = 0 terletak antara x = 1 dan x = 2.
Selanjutnya gunakan rumus diatas : x0 = 1+2 = 1,5 = 3/2
2
Masukan ke fungsi : f (3/2) = (3/2)3 – (3/2) – 1 = 7/8 => 7/8 > 0
Ambil : x1 = 1+3/2 = 1,25 = 5/4 => f (5/4) = (5/4)3 – (5/4) – 1
2
=> f (5/4) = 125 – 5/4 -1 = -19/64
64
x2 = 1,5 +1,25 = 1,375 => f (1,375) = (1,375)3 – (1,375) – 1 = .........
2
x3 = 1,25+1,375 = 1,3125 => f (1,3125) = (1,3125)3 – (1,3125) – 1 =
2
x4 = 1,375 + 1,3125 = 1,34375 => f (1,34375) = (1,34375)3 – (1,34375) – 1
2
x5 = 1,3125+1,34375 = 1,327125 => f (1,327125) =
2
Tabel biseksi diatas :
Iterasi a b x f(x) f(q)
1
2
3 1
1
1,5 2
1,5
1,25 1,5
1,25
1,375 7/8
-19/64 -1
-1
Menghentikan iterasi , dapat dilakukan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin besar jumlah iterasi yang dibutuhkan.
2.METODE ITERATIF SEDERHANA
(METODE ITERASI SATU TITIK SEDERHANA)
Metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain, sehingga x = f(x), dapat ditulis dalam bentuk x(n+1) = f(xn) dimana n = 0,1,2,3,........................
Contoh : f(x) = 2x3 – 7x + 2 = 0
=> 7x = 2x3 + 2
=> x = 2x3 +2
7
Kita ambil 0< X<1
Untuk X0 = 1 → f (1) = 4/7 = 0,571
X1 = 0,571 → f (0,571) = 2(0,571)3 +2 = 0,339
7
X2 = 0,339 → f (0,339) = 2(0,339)3+2 = 0,297
7
X3 = 0,279 → f (0,279) = 2(0,279)3+2 = 0,293
7
X4 = 0,293 → f (0,293) = 2(0,293)3+2 = 0,293
7
X5 = 0,293 → .....................sda..........................
Ditulis dalam bentuk tabel :
Iterasi Xn Xn3 2/7 (Xn3+1)
0
1
2
3
4
5 1
0,571
0,339
0,279
0,293
.......... 1
0,186
0,039
0,026
0,025
............. 0,571
0,339
0,297
0,293
0,293
.............
Konvergen ke 0,293 aproksimasi di X = 0,293
f(x)
f(x) = 0 untuk x = -2
0 < x < 1
Konvergen 1 < x < 2
divergen
x
-2 -1 0 1 2
Untuk nilai bulat x = -2, dari f(x) = 2x3 – 7x + 2adalah :
-2 2 0 -7 2
-4 8 -2
2 -4 1 0
f(x) = (x+2) (2x2-4x+1) = 0 akar dari 2x2 – 4x + 1 = 0 didapat
X2,3 = 4 ±√16-8 = 1 ± 1/2 √2 .............(Rumus ABC: X2.3 = -b±√b2-4AC
4 2a
X2 = 0,2922893....................
X3 = 1,707106......................
Akar lain 1< x < 2. Untuk x = 2/7 (xn3 + 1)
Atau xn + 1 = f(xn) = 2/7 (xn3 + 1)
Maka :
X0 = 2 → f(2) = 2/7 (23+1) = 12/7 = 2,571
X1 = 2,571 → f(2,571) = 2/7[(2,571)3+1] = 5,141
X2 = 5,141 → f(5,141) = 2/7[(5,141)3+1] = 39,107
..............................dst
Ternyata x membesar (divergen).
Cara Lain : 2x3 = 7x – 2
x = 7x – 2
2x2
Tabel ;
Iterasi Xn Xn2 7Xn – 2 2Xn2 7Xn – 2
2Xn2
0
1
2
3
..............
22
................. 2
1,5
1,889
1,573
..............
1,709
............ 4
2,25
3,568
2,474
..............
2,922
................... 12
8,5
11,223
9,811
..................
9,963
dst 8
4,5
7,136
4,948
................
5,844
.................. 1,5
1,889
1,573
1,821
dst
1,705
.............
Harga x mendekati 1,707
Secara eksak : 1 + ½ √2 = 1,7077106...................
Dapat juga ditulis : 2X3 = 7x – 2
X2 = 7x-2
2x
X = ( 7x – 2) 1/2
2x
X3 = 7x – 2 X = (7x – 2) 1/3
2 2
Didapat formulasi :
Iterasi Nilai awal Hasil
F(x) = 2/7 (x3 + 1) 1
2 Konvergen
Divergen
F(x) = 7x – 2
2x 1
2 Konvergen
Konvergen
F(x) = ( 7x – 2) ½
2x 1
2 Konvergen
Konvergen
F(x) = (7x – 2) 1/3
2 1
2 Konvergen
Konvergen
3.METODE ATHEN ∆2
(Percepatan Konvergen)
Dari f(x) = 0 dijadikan x = F(x) dengan mengambil tiga aproksimasi Xi-1, Xi, Xi + 1
Dimana : ∆Xi = Xi + 1 - Xi dan ∆ Xi-1 = Xi-1= Xi – Xi – 1
∆2Xi – 1 = ∆Xi - ∆Xi -1
Apabila dimisalkan x = α yang membuat f(x) = 0
Maka :
Contoh : gunakan Metode Athen ∆2 untuk menghitung akar persamaan : x3 +x - 1/2 = 0
Jawaban : x3 + x - ½ = 0
X= -x3 + 1/2
Untuk : X0 = 0 → X1 = f(0) = ½ = 0,5
X1 = 1/2 → X2 = f(1/2) = -(1/2)3 + ½ = - ⅛ + 4/8 = ⅜ = 0,375
X2 = ⅜ → X3 = f(3/8) = -(3/8)3 + 1/2 = - 27 + 256
512 512
= 229 = 0,447
512
Maka : Xi -1 = X1= 0,5
Xi = X2 = 0,375
Xi + 1 = X3 = 0,447
Jadi : ∆2 Xi – 1 = ∆Xi - ∆i – 1 = 0,375 – 0,5 = - 0,125
α = Xi+1 – (∆Xi)2 = 0,447 – (0,072)2 = 0,423
∆2 Xi-1 0,197
4.METODE POSISI SALAH (PALSU)
Prinsip : Disekitar akar fungsi yang diperkirakan, anggap fungsi merupakan garis lurus. Titik tempat garis lurus itu memotong garis nol ditentukan sebagai akar fungsi :
b
f(x)
•
x
garis lurus sebagai pengganti f(x)
p(x)
a
Dari fungsi y = f(x) kita akan mencari f(x) = 0 untuk x.
Misalkan A(X0, f(X0)) dan B(X1, f(X1)), dimana f(X0) > 0 dan f(X1) < 0
Maka : y – f(X0) = X – X0
f(X1) – f(X0) X1 – X0
y – f(X0) = f(X1) – f(X0) (X – X0)
X1 – X0
Rumus : Xn+1 = X0 f(Xn) – Xnf(X0)
f(Xn) – f(X0)
atau :
C = a f(b) – bf(a)
f (b)- f(a)
Jika A (a,f(a) dan B [b, f(b)]
Contoh : Tentukan akar dari 2X3 – 7X+2.
Jawaban : f(x) = 2X3 – 7X +2
Untuk X = 0 → f(0) = 2 (0)3 – 7(0) +2 = 2, ini lebih nol
X = 1 → f(1) = 2 (1)3 – 7(1) +2 = -3, ini kurang dari nol
Maka f(x) antara 0 dan 1
Kita ambil X0 = 0 dan f(x0) = 2
Substitusi ke :
Xn + 1 = X0 f(Xn) – Xnf(X0)
f(Xn) – f(X0)
Menjadi :
Xn + 1 = 0. f(Xn) – 2 Xn
f(Xn) – 2
Xn + 1 = -2Xn
f(Xn)-2
Xn + 1 = -2 Xn
2Xn3 – 7Xn +2 – Z
Xn + 1 = -2Xn
2Xn3 – 7 Xn
Xn + 1 = Xn (-2) = - 2
Xn(2Xn2 – 7) 2X2n – 7
Untuk f(x) = -2 maka F1(x) = 8x
2X2 – 7 (2X2 – 7)2
Untuk X = 0 maka F1 (x) = 0
Untuk X = 1 maka F1 (x) = 8 , ini kurang dari dari 1 (Konvergen)
25
Tabel :
Iterasi (n) Xn 2Xn2 2Xn2 – 7 -2
2Xn2 – 7
0
1
2
3
4 1
0,4
0,299
0,293
0,293 2
0,320
0,179
0,172
.................. -5
- 6,680
- 6,821
- 6,828
........................ 0,4
0,299
0,293
0,293
.....................
Jadi : f(x) = 0, Untuk X = 0,293
5.METODE NEWTON - RAFHSON
Salah satu Metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x) dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar.
Rumus : Xn+1 = Xn – f(Xn)
f1(Xn)
Contoh : Tentukan aproksimasi akar real dari :
X3 – X2 – 3 = 0
Jawaban: f(x) = X3 – X2 – X – 3
Coba – coba : f(2) = 8 – 4 – 2 – 3 = -1, (kurang dari nol)
f(3) = 27 – 9 – 3 – 3 = 12, (lebih dari nol)
Ambil tengah – tengah antara 2 dan 3 yaitu X0 = 2,5
Rumus : Xn+1 = Xn - f(Xn)
f1(Xn)
disubstitusikan ke soal, menjadi :
Xn+1 = Xn – X3n – X2n – Xn – 3
3X2n – 2Xn - 1
Tabel Hasil
Iterasi (n) Xn f(Xn) f1(Xn) f(Xn)
f1(Xn)
0
1
2
3
4 2,5
2,196
2,133
2,130
2,130 3,875
0,572
0,022
-0,003
..................... 12,75
9,075
8,383
8,351
.............. 0,304
0,063
0,003
0,000
.............
Jadi akarnya X = 2,130
Rabu, 08 April 2009
METODE NUMERIK
METODE NUMERIK
Selisih Terhingga Biasa :
Secara Umum dapat di rumuskan :
∆ f(x) = f(x + h) - f(x)
Apabila dilanjutkan berdasarkan tingkatan dinyatakan dalam bentuk.
∆n f(x) = ∆n-1f(x+h) - ∆n-1f(x)
Contoh, untuk :
Selisih pertama : ∆ f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih kedua : ∆2 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih ketiga : ∆3 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih keempat : ∆4 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
........................................................... dst
Mari kita gunakan rumus tersebut di atas sampai selisih terhingganya mencapai angka-angka konstans :
Contoh : Carilah ekspresi analitik f (x) = x2 + 3
Untuk x = 1 (2) 9
Jawaban : Soal tersebut mengartikan, bahwa dalam fungsi f (x) = x2 + 3, nilai x bergerak mulai angka 1 sampai dengan angka 9 dimana bedanya selalu tetap 2 atau x = { 1,3,5,7,9 }.
Sekarang kita coba cari nilai f (x) = x2+3
f(1) = ( 1 )2 + 3 = 4
f(3) = ( 3 )2 + 3 = 12
f(5) = ( 5 )2 + 3 = 28
f(7) = ( 7 )2 + 3 = 52
f(9) = ( 9 )2 + 3 = 84
Selanjutnya :
Untuk selisih pertama : ∆ f (x) = f (x+h) –f(x)
∆ f (x) = (x+2)2 +3-(x2+3)
∆ f (x) = x2 +4x+4+3-x2-3
∆ f (x) = 4x + 4
Jika x = 1 → ∆ f (x) = 4(1) + 4 = 8
Jika x = 3 → ∆ f (x) = 4(3) + 4 = 16
Jika x = 5 → ∆ f (x) = 4(5) + 4 = 24
Jika x = 7 → ∆ f (x) = 4(7) + 4 = 32
Jika x = 9 → ∆ f (x) = 4(9) + 4 = 40
Maka : f(x) = {8,16,24,32,40}
Untuk selisih kedua :∆2 f (x) = ∆f(x+h)-∆f(x)
∆2 f (x) = 4(x+2) +4-(4x+4)
∆2 f (x) = 4x+8+4-4x-4
∆2 f (x) = 8 (konstans)
Pada tabel berikut :
x F(x) ∆f(x) ∆2f(x)
1
3
5
7
9 4
12
28
52
84 8
16
24
32
40 8
8
8
8
8
Mari kita lihat contoh lainnya :
f(x) = x3+6x2+11x+6
Untuk : 0 (1) 4
Jawaban : x ={0,1,2,3,4}
Maka : f(x) = x3+6x2+11x+6
f(0) = (0)3+6(0)2+11(0)+6=6
f(1) = (1)3+6(1)2+11(1)+6=24
f(2) = (2)3+6(2)2+11(2)+6=56
f(3) = (3)3+6(3)2+11(3)+6=120
f(4) = (4)3+6(4)2+11(4)+6=210
Nilai f(x) = {6,24,56,120,210}
Untuk selisih pertama : ∆ f (x) = f (x+h) –f(x)
∆ f (x) = (x+1)3 + 6 ( x+1)2+11(x+1)+6-(3x3 + 15x+8)
∆ f (x) = x3+9x2+26x+14-x3-6x2-11x-6
∆ f (x) = 3x2+15x+8
Untuk x = {0,1,2,3,4}
∆f(0) = 3(0)2+15(0)+8=8
∆f(1) = 3(1)2+15(1)+8=26
∆f(2) = 3(2)2+15(2)+8=50
∆f(3) = 3(3)2+15(3)+8=80
∆f(4) = 3(4)2+15(4)+8=116
Nilai ∆f(x) = {8,26,50,80,116}
Untuk Selisih kedua : ∆2 f (x) =∆f (x+h) –∆f(x)
∆2 f(x) =3(x+1)2 +15(x+1)+8-(3x2 + 15x+8)
∆2 f(x) = 3x2+21x+26-3x2-15x-8
∆2 f(x) = 6x+18
Untuk x = {0,1,2,3,4}
∆2 f(0) = 6(0)+18 = 18
∆2 f(1) = 6(1)+18 = 24
∆2 f(2) = 6(2)+18 = 30
∆2 f(3) = 6(3)+18 = 36
∆2 f(4) = 6(4)+18 = 42
Nilai ∆2 f(x) = {18,24,30,36,42}
Untuk Selisih ketiga : ∆3 f (x) = ∆f (x+h) –∆f(x)
∆3 f (x) = 6 (x+1) +18–(6x-18)
∆3 f (x) = 6x + 6 +18–6x-18 =42 (konstans)
Pada tabel kita tuliskan :
x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x)
0
1
2
3
4 6
24
56
120
210 8
26
50
80
116 18
24
30
36
42 42
42
42
42
42
n
Rumus : Jika f(x) =∑ ai x i
i = 0
Maka : ∆n f(x) adalah konstans an • n!.hn
Contoh : f(x) = x3-3x2+5x+7
Jawab : 1•3/•23=1•6•8=48
1. Soal : Untuk h = 1
Carilah ekspresi Analitik dari
f(x) = x3-7x2+2x +3
Jawaban : f(x) = x3-7x2+2x +3
∆ f(x) = (x+1)3-7(x+1)2+2(x+1)+3-(x3-7x2+2x+3)
∆ f(x) = x3-4x2-9x-2-x3+7x2-2x-3
∆ f(x) = 3x2 -11x -5
∆2 f(x) = 3(x+1)2-11(x+1)-5-(3x2-11x-5)
∆2 f(x) = 3x2+6x+3-11x-11-5-3x2+11x+5
∆2 f(x) = 6x-8
∆3 f(x) = 6(x+1)-8-(6x-8)
∆3 f(x) = 6x+6-8-6x+8
∆3 f(x) = 6
2.Carilah dua suku berikutnya dari barisan
Uo=5;U1=11;U2=22
U3=40;U4=74;U5=140
Jawaban:
U0, U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7
5, ┬ 11, ┬ 22, ┬ 40, ┬ 74,┬140, ┬ 261,┬ 466
f(x) = 6 ┬ 11 ┬ 18 ┬ 34 ┬ 66 ┬ 12 ┬ 206
∆f(x) = 5 ┬ 7 ┬ 16 ┬ 32 ┬ 55 ┬ 85
∆2f(x) = 2 ┬ 9 ┬ 16 ┬ 23 ┬ 30
∆3f(x) = 7 7 7 7
3. Carilah ∆ Ux, ∆2Ux dan ∆3Ux untuk fungsi a). Ax3+bx+c
b). Ux = 1
x
Ambil : h = 1
Jawaban :
a) ∆Ux = f(x+1)-f(x)
= a(x-1)3+b(x+1)+c-(ax3+bx+c)
= ax3+3ax2+3ax+a+bx+b+c-ax3-bx-c
= 3ax2+3ax+a+b
∆2Ux= 3a(x-1)2+3a(x+1)+a+b-(3ax2+3ax+a+b)
= 3ax¬2+6ax+3a+3ax+3a+a+b-3ax2-3ax-a-b
= 6ax+6a
∆3Ux=6a( x+1)+6a-(6ax+6a)
= 6ax+6a+6a-6ax-6a
= 6a
b) Ux=1
x
∆Ux= _1_ - 1 = x-(x+1) = x-x-1
x+1 x (x+1) x x(x+1)
= _-1__ = _-1_
x(x+1) x2+x
∆2Ux= _____1_ ___- ( -1 )
(x+1)2 +(x+1) ( x2+x)
= ____-1_____ + __1__
x2+2x+1+x+1 x2 + x
= ___-1___+ __1__ =___-1____+ __1__
x2+3x+2 x2 + x (x+2)(x+1) x(x+1)
= __-x+x+2__ + ____2____
x(x+2)(x+1) (x+2)(x+1)x
∆3Ux = _________2__ ______ - ____2____
[(x+1+2)(x+1+1)(x+1)] (x+2)(x+1)x
= ______2__ ___ - ____2____
(x+3)(x+2)(x+1) (x+2)(x+1)x
= 2x-2(x+3)__ - 2x-2x+3____
(x+3)(x+2)(x+1)x (x+3)(x+2)(x+1)x
= 3 - 3 _
(x+3)(x+2)(x+1)x (x+3)
4. Tentukan selisih kelima dari
f(x) = 4-3x2-2x3+4x5
Untuk x = 0 (2) 20
Jawaban : ∆n f(x) = 4.5.25
∆n f(x) = 4 x 120 x 32= 15360
Selisih Pembagi :
Formula Selisih pembagi Newton :
щx = щa + (x-a) ∆ щa+ (x-a) (x-b) ∆2 щa+ (x-a) (x-b) (x-c) ∆3 щa + .....................
b bc bcd
dimana :
∆ щa = щb – щa
b b-a
∆2 щa = щa + щb + щc
b=c (a-b) (a-c) (b-c) (b-a) (c-a)(c-b)
∆3 щa = щa + щb + щc + щd
bcd (a-b) (a-c)(a-d) (b-a) (b-c) (b-d) (c-a)(c-b) (c-d) (d-a)(d-b)(d-c)
...............................................................................dst
Atau untuk rumus lainnya, bisa kita buat seperti :
∆2 щb = щb + щc + щd¬ _
c-d (b-c)(b-d) (c-d)(c-b) (d-b)(d-c)
∆3 щb = щb _+ щc _ + щd¬ _ + щe _
cde (b-c)(b-d)(b-e) (c-b) (c-d)(c-e) (d-b)(d-c)(d-e) (e-b)(e-c)(c-d)
Contoh :
Щx ∆ щa
b ∆2щa
b c ∆2 щa
b c d
2
0
4
8
6 13
7
43
367
145 3
9
81 3
9
Soal : Untuk k = 1 carilah ekspresi analitik untuk ∆ f(x), ∆2 f(x), dan ∆3 f(x)
1. Jika : f(x) = x3-7x2+2x+3
Jawaban : f(x) = x3-7x2+2x+3
∆f(x) = (x-1)3-7(x+1)2+2(x-1)+3-(x3-7x2+2x+3)
∆f(x) = x3-3x2+3x+1+7x2-14x-7+2x+2+3-x3+7x2-2x-3
∆f(x) = 3x2-11x-4
∆2 f(x) = 3(x+1)2-11(x+1)-4(3x2-11x-4)
∆2 f(x) = 3x2 +6x+3-11x-11-4-3x2+11x+4
∆2 f(x) = 6x-8
∆3 f(x) = 6(x+1)-8-(6x-8)
∆3 f(x) = 6x+6-8-6x+8
∆3 f(x) = 6
2. Carilah dua suku berikutnya dari barisan. Щ = 5, Щ1 = 11, Щ2 = 22, Щ3 = 40,
Щ4 = 74, Щ5 = 140, Щ6 = 261, Щ7 = 467.
Gunakan selisih terhingga untuk mencarinya di derajat berapakah yang nilainya seperti itu
Jawaban :
щ0, щ1, щ2, щ3, щ4, щ5, щ6, щ7, щ8, щ9
f(x) = 5, ┬ 11, ┬ 22, ┬ 40, ┬ 74,┬140, ┬ 261,┬ 467 ┬ 795 ┬ 1289
∆f(x) = 6 ┬ 11 ┬ 18 ┬ 34 ┬ 66 ┬ 121 ┬ 206 ┬ 328 ┬ 494
∆2f(x) = 5 ┬ 7 ┬ 16 ┬ 32 ┬ 55 ┬ 85 ┬ 122 ┬ 166
∆3f(x) = 2 ┬ 9 ┬ 16 ┬ 23 ┬ 30┬ 37 ┬ 44
∆4f(x) = 7 7 7 7 7 7
Dua suku berikutnya 795 dan 1289 derajat 4
Selisih Terhingga Biasa :
Secara Umum dapat di rumuskan :
∆ f(x) = f(x + h) - f(x)
Apabila dilanjutkan berdasarkan tingkatan dinyatakan dalam bentuk.
∆n f(x) = ∆n-1f(x+h) - ∆n-1f(x)
Contoh, untuk :
Selisih pertama : ∆ f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih kedua : ∆2 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih ketiga : ∆3 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
Selisih keempat : ∆4 f(x) = ∆ (x+h) - f(x)
........................................................... dst
Mari kita gunakan rumus tersebut di atas sampai selisih terhingganya mencapai angka-angka konstans :
Contoh : Carilah ekspresi analitik f (x) = x2 + 3
Untuk x = 1 (2) 9
Jawaban : Soal tersebut mengartikan, bahwa dalam fungsi f (x) = x2 + 3, nilai x bergerak mulai angka 1 sampai dengan angka 9 dimana bedanya selalu tetap 2 atau x = { 1,3,5,7,9 }.
Sekarang kita coba cari nilai f (x) = x2+3
f(1) = ( 1 )2 + 3 = 4
f(3) = ( 3 )2 + 3 = 12
f(5) = ( 5 )2 + 3 = 28
f(7) = ( 7 )2 + 3 = 52
f(9) = ( 9 )2 + 3 = 84
Selanjutnya :
Untuk selisih pertama : ∆ f (x) = f (x+h) –f(x)
∆ f (x) = (x+2)2 +3-(x2+3)
∆ f (x) = x2 +4x+4+3-x2-3
∆ f (x) = 4x + 4
Jika x = 1 → ∆ f (x) = 4(1) + 4 = 8
Jika x = 3 → ∆ f (x) = 4(3) + 4 = 16
Jika x = 5 → ∆ f (x) = 4(5) + 4 = 24
Jika x = 7 → ∆ f (x) = 4(7) + 4 = 32
Jika x = 9 → ∆ f (x) = 4(9) + 4 = 40
Maka : f(x) = {8,16,24,32,40}
Untuk selisih kedua :∆2 f (x) = ∆f(x+h)-∆f(x)
∆2 f (x) = 4(x+2) +4-(4x+4)
∆2 f (x) = 4x+8+4-4x-4
∆2 f (x) = 8 (konstans)
Pada tabel berikut :
x F(x) ∆f(x) ∆2f(x)
1
3
5
7
9 4
12
28
52
84 8
16
24
32
40 8
8
8
8
8
Mari kita lihat contoh lainnya :
f(x) = x3+6x2+11x+6
Untuk : 0 (1) 4
Jawaban : x ={0,1,2,3,4}
Maka : f(x) = x3+6x2+11x+6
f(0) = (0)3+6(0)2+11(0)+6=6
f(1) = (1)3+6(1)2+11(1)+6=24
f(2) = (2)3+6(2)2+11(2)+6=56
f(3) = (3)3+6(3)2+11(3)+6=120
f(4) = (4)3+6(4)2+11(4)+6=210
Nilai f(x) = {6,24,56,120,210}
Untuk selisih pertama : ∆ f (x) = f (x+h) –f(x)
∆ f (x) = (x+1)3 + 6 ( x+1)2+11(x+1)+6-(3x3 + 15x+8)
∆ f (x) = x3+9x2+26x+14-x3-6x2-11x-6
∆ f (x) = 3x2+15x+8
Untuk x = {0,1,2,3,4}
∆f(0) = 3(0)2+15(0)+8=8
∆f(1) = 3(1)2+15(1)+8=26
∆f(2) = 3(2)2+15(2)+8=50
∆f(3) = 3(3)2+15(3)+8=80
∆f(4) = 3(4)2+15(4)+8=116
Nilai ∆f(x) = {8,26,50,80,116}
Untuk Selisih kedua : ∆2 f (x) =∆f (x+h) –∆f(x)
∆2 f(x) =3(x+1)2 +15(x+1)+8-(3x2 + 15x+8)
∆2 f(x) = 3x2+21x+26-3x2-15x-8
∆2 f(x) = 6x+18
Untuk x = {0,1,2,3,4}
∆2 f(0) = 6(0)+18 = 18
∆2 f(1) = 6(1)+18 = 24
∆2 f(2) = 6(2)+18 = 30
∆2 f(3) = 6(3)+18 = 36
∆2 f(4) = 6(4)+18 = 42
Nilai ∆2 f(x) = {18,24,30,36,42}
Untuk Selisih ketiga : ∆3 f (x) = ∆f (x+h) –∆f(x)
∆3 f (x) = 6 (x+1) +18–(6x-18)
∆3 f (x) = 6x + 6 +18–6x-18 =42 (konstans)
Pada tabel kita tuliskan :
x f(x) ∆f(x) ∆2f(x) ∆3f(x)
0
1
2
3
4 6
24
56
120
210 8
26
50
80
116 18
24
30
36
42 42
42
42
42
42
n
Rumus : Jika f(x) =∑ ai x i
i = 0
Maka : ∆n f(x) adalah konstans an • n!.hn
Contoh : f(x) = x3-3x2+5x+7
Jawab : 1•3/•23=1•6•8=48
1. Soal : Untuk h = 1
Carilah ekspresi Analitik dari
f(x) = x3-7x2+2x +3
Jawaban : f(x) = x3-7x2+2x +3
∆ f(x) = (x+1)3-7(x+1)2+2(x+1)+3-(x3-7x2+2x+3)
∆ f(x) = x3-4x2-9x-2-x3+7x2-2x-3
∆ f(x) = 3x2 -11x -5
∆2 f(x) = 3(x+1)2-11(x+1)-5-(3x2-11x-5)
∆2 f(x) = 3x2+6x+3-11x-11-5-3x2+11x+5
∆2 f(x) = 6x-8
∆3 f(x) = 6(x+1)-8-(6x-8)
∆3 f(x) = 6x+6-8-6x+8
∆3 f(x) = 6
2.Carilah dua suku berikutnya dari barisan
Uo=5;U1=11;U2=22
U3=40;U4=74;U5=140
Jawaban:
U0, U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7
5, ┬ 11, ┬ 22, ┬ 40, ┬ 74,┬140, ┬ 261,┬ 466
f(x) = 6 ┬ 11 ┬ 18 ┬ 34 ┬ 66 ┬ 12 ┬ 206
∆f(x) = 5 ┬ 7 ┬ 16 ┬ 32 ┬ 55 ┬ 85
∆2f(x) = 2 ┬ 9 ┬ 16 ┬ 23 ┬ 30
∆3f(x) = 7 7 7 7
3. Carilah ∆ Ux, ∆2Ux dan ∆3Ux untuk fungsi a). Ax3+bx+c
b). Ux = 1
x
Ambil : h = 1
Jawaban :
a) ∆Ux = f(x+1)-f(x)
= a(x-1)3+b(x+1)+c-(ax3+bx+c)
= ax3+3ax2+3ax+a+bx+b+c-ax3-bx-c
= 3ax2+3ax+a+b
∆2Ux= 3a(x-1)2+3a(x+1)+a+b-(3ax2+3ax+a+b)
= 3ax¬2+6ax+3a+3ax+3a+a+b-3ax2-3ax-a-b
= 6ax+6a
∆3Ux=6a( x+1)+6a-(6ax+6a)
= 6ax+6a+6a-6ax-6a
= 6a
b) Ux=1
x
∆Ux= _1_ - 1 = x-(x+1) = x-x-1
x+1 x (x+1) x x(x+1)
= _-1__ = _-1_
x(x+1) x2+x
∆2Ux= _____1_ ___- ( -1 )
(x+1)2 +(x+1) ( x2+x)
= ____-1_____ + __1__
x2+2x+1+x+1 x2 + x
= ___-1___+ __1__ =___-1____+ __1__
x2+3x+2 x2 + x (x+2)(x+1) x(x+1)
= __-x+x+2__ + ____2____
x(x+2)(x+1) (x+2)(x+1)x
∆3Ux = _________2__ ______ - ____2____
[(x+1+2)(x+1+1)(x+1)] (x+2)(x+1)x
= ______2__ ___ - ____2____
(x+3)(x+2)(x+1) (x+2)(x+1)x
= 2x-2(x+3)__ - 2x-2x+3____
(x+3)(x+2)(x+1)x (x+3)(x+2)(x+1)x
= 3 - 3 _
(x+3)(x+2)(x+1)x (x+3)
4. Tentukan selisih kelima dari
f(x) = 4-3x2-2x3+4x5
Untuk x = 0 (2) 20
Jawaban : ∆n f(x) = 4.5.25
∆n f(x) = 4 x 120 x 32= 15360
Selisih Pembagi :
Formula Selisih pembagi Newton :
щx = щa + (x-a) ∆ щa+ (x-a) (x-b) ∆2 щa+ (x-a) (x-b) (x-c) ∆3 щa + .....................
b bc bcd
dimana :
∆ щa = щb – щa
b b-a
∆2 щa = щa + щb + щc
b=c (a-b) (a-c) (b-c) (b-a) (c-a)(c-b)
∆3 щa = щa + щb + щc + щd
bcd (a-b) (a-c)(a-d) (b-a) (b-c) (b-d) (c-a)(c-b) (c-d) (d-a)(d-b)(d-c)
...............................................................................dst
Atau untuk rumus lainnya, bisa kita buat seperti :
∆2 щb = щb + щc + щd¬ _
c-d (b-c)(b-d) (c-d)(c-b) (d-b)(d-c)
∆3 щb = щb _+ щc _ + щd¬ _ + щe _
cde (b-c)(b-d)(b-e) (c-b) (c-d)(c-e) (d-b)(d-c)(d-e) (e-b)(e-c)(c-d)
Contoh :
Щx ∆ щa
b ∆2щa
b c ∆2 щa
b c d
2
0
4
8
6 13
7
43
367
145 3
9
81 3
9
Soal : Untuk k = 1 carilah ekspresi analitik untuk ∆ f(x), ∆2 f(x), dan ∆3 f(x)
1. Jika : f(x) = x3-7x2+2x+3
Jawaban : f(x) = x3-7x2+2x+3
∆f(x) = (x-1)3-7(x+1)2+2(x-1)+3-(x3-7x2+2x+3)
∆f(x) = x3-3x2+3x+1+7x2-14x-7+2x+2+3-x3+7x2-2x-3
∆f(x) = 3x2-11x-4
∆2 f(x) = 3(x+1)2-11(x+1)-4(3x2-11x-4)
∆2 f(x) = 3x2 +6x+3-11x-11-4-3x2+11x+4
∆2 f(x) = 6x-8
∆3 f(x) = 6(x+1)-8-(6x-8)
∆3 f(x) = 6x+6-8-6x+8
∆3 f(x) = 6
2. Carilah dua suku berikutnya dari barisan. Щ = 5, Щ1 = 11, Щ2 = 22, Щ3 = 40,
Щ4 = 74, Щ5 = 140, Щ6 = 261, Щ7 = 467.
Gunakan selisih terhingga untuk mencarinya di derajat berapakah yang nilainya seperti itu
Jawaban :
щ0, щ1, щ2, щ3, щ4, щ5, щ6, щ7, щ8, щ9
f(x) = 5, ┬ 11, ┬ 22, ┬ 40, ┬ 74,┬140, ┬ 261,┬ 467 ┬ 795 ┬ 1289
∆f(x) = 6 ┬ 11 ┬ 18 ┬ 34 ┬ 66 ┬ 121 ┬ 206 ┬ 328 ┬ 494
∆2f(x) = 5 ┬ 7 ┬ 16 ┬ 32 ┬ 55 ┬ 85 ┬ 122 ┬ 166
∆3f(x) = 2 ┬ 9 ┬ 16 ┬ 23 ┬ 30┬ 37 ┬ 44
∆4f(x) = 7 7 7 7 7 7
Dua suku berikutnya 795 dan 1289 derajat 4
TEORI GARAPH (MATEMATIKA DISKRIT)
TEORI GARAPH (MATEMATIKA DISKRIT)
……………matematika perasaan
R E L A S I
Hubungan antara dua elemen himpunan
Definisi : Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka relasi R dari A ke B adalah
Sub himpunan A X B
....atau :
RAB A X B
RELASI REFLEKSIF :
Setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri
a A ( a,a ) R atau a A a R a
Contoh : “ x selalu bersama y “ atau x = y
RELASI IREFLEKSIF :
Setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
a A ( a,a ) R atau a A ( a R a )
Contoh : 1. “ x tidak bersama y “
2. ” x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna ”
3. Dalam himpunan bilangan bulat,relasi kurang dari ( < ) dan relasi
lebih dari ( > )
RELASI SIMETRIK :
Relasi R dalam A , setiap pasangan anggota berhubungan satu sama lain.
Jika a terhubung b, maka b terhubung a ( hubungan timbal balik ).
a,b A ( a,b ) R ( b,a ) R
....... ATAU.........
a,b A a R b b R a
Contoh : relasi “ x + y genap “
RELASI ANTI SIMETRIK :
Jika setiap a dan b hanya terhubung salah satunya saja.
a,b A a b [ ( a,b ) R (b,a) R ]
................ATAU................
a,b A a b [ a R b ( bRa ) ]
Contoh : Relasi seperti 5 6 ( 6 5 )
RELASI TRANSITIF
Jika a berhubung b terhubung c maka a terhubung c
Contoh : 5 < 6 dan 6 < 7 maka 5 < 7
RELASI EKIVALEN
Bersifat : - Refleksif
- Simetrik
- Transitif
POSET atau Orde Parsial
Bersifat : - Refleksif
- Anti Simetrik
- Transitif
Definisi : (P, ) adalah sebuah poset, jika berlaku atau maka (P, ) disebut rantai.
Contoh : (P, )
P = {1,2,3,.............,100} dan x y jika dan hanya jika x.y 200
Apakah ini rantai?
Jawaban : (P, ) bukan rantai
Sebab : 90.90 | 200
DIAGRAM HASSE
Diagram Hasse yang dikenal dalam teori graf, merupakan himpunan dari :
Verteks (Node) digambarkan sebagai titik/ noktah atau lingkaran kecil .
Edge (arc) digambarkan sebagai simpul atau garis.
Contoh :
Ditulis : V = {1,2,3,6
E = {(1,2),(1,3),(2,6),(3,6)}
Contoh : dan
Tak ada anggota lain yang mengakibatkan
Maka : b
a
Contoh : x = {2,3,6,12,24,36}
relasi didefinisikan sebagai x y
jika x membagi y. (x membagi habis y).
dimana (x,y x)
Jawaban : v = {2,3,6,12,24,36}
E = {(2,6),(3,6),(6,12),(12,24),(12,36)}
Diagram Hasse :
Contoh : A Semua factor bilangan bulat positif m
Didefinisikan x y habis dibagi oleh x.
Buat diagram Hasse, Untuk :
a. m = 12
b. m = 45
Jawaban : a. A = {1,2,3,4,6,12}
V = {1,2,3,4,6,12}
E = {(1,2),(1,3),(2,4),(2,6),(3,6),(4,12),(6,12)}
Diagram Hasse :
b. A = {1,3,5,9,15,45}
V = {1,3,5,9,15,45}
E = {(1,3),(1,5),(3,9),(5,15),(9,45),(15,45)}
Diagram Hasse :
Contoh : A Sebuah himpunan hingga P(A) adalah himpunan kuasanya
Misalkan : merupakan relasi inklusi pada elemen – elemen dari P(A)
Gambar : diagram Hasse dari (P(A), ), jika :
1. A = {a}
2. B = {a,b}
3. C = {a,b,c}
Jawaban : 1. P(A) ={a} .Himpunan kuasanya {
V = {
E = {({a}, )}
Diagram Hasse :
2. V = { ,{a},{b},{a,b}}
E : {( ,{a}), ( ,{b}),({a},{a,b}), ({b},{a,b})}
Diagram Hasse :
3. V = { ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
E = {( ,{a}),( ,{b}),( {c}),({a},{a,b}),({a},{a,c},({b},{a,b}),({b},{b,c}
({c},{a,c}), ({c},{b,c}), ({a,b},{a,b,c}), ({a,c},{a,b,c}),({b,c},{a,b,c})
Diagram Hasse :
Batas atas dan Batas Bawah
Batas atas yaitu agka – angka atau hal lain yang ada di atas himpunan diketahui
Batas bawah yaitu angka-angka atau hal lain yang ada dibawah himpunan diketahui
Batas bawah Batas atas
Supremium dan Infirium
Supremium yaitu angka-angka atau hal lain terkecil yang ada di atas himpunan diketahui
Infirium yaitu angka-angka atau hal lain terbesar yang ada di bawah himpunan diketahui
Infirium Supremium
Graf Trivial
Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisipun.
Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada minimal satu.
Dengan demikian dinyatakan V tidak bolh kosong, sedangkan E boleh kosong.
V, sebagai himpunan simpul
E, sebagai himpunan sisi.
Sisi ganda (Multiple edges atau paralel edges).
V = {1,2,3,4}
E = {(1,2),(2,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4)}
Sisi (1,3) dan Sisi (3,4)
Dinamakan sisi ganda
Gelang, kalang atau loop.
V= {1,2,3,4}
E={(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3)}
E = {e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8}
e4
e1 e3 Sisi e8, dinamakan gelang/kalang/loop
e2 e8
e5 e6
e7
Jenis – Jenis Graf berdasarkan sisinya.
1. Graf sederhana (Simple Graph)
Tidak mengandung gelang (loop)maupun sisi ganda (multiple edges).
Contoh : (1) (2)
(4) (3)
Graf Complete atau graf lengkap, jika graf tersebut simpel dan setiap pasangan simpul yang berbeda dihubungkan oleh satu busur.
Graf Complete yang mempunyai n titik dinotasikan Kn.
Kn punya busur.
Bukti :
2. Graf tak sederhana (Unsimple Graph)
Mengandung sisi ganda atau gelang.
Terdiri 2 macam graph :
a. graph ganda (multigraph)
mengandung sisi ganda
b. graph semu (pseudograph)
Mengandung gelang
Jenis – jenis Graf berdasarkan jumlah simpul
1. Graf berhingga (limited graph)
Graf yang jumlah simpulnya n, berhingga
2. Graf tak terhingga (Unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya n, tak terhingga
Jenis – jenis Graf berdasarkan arah sisi.
1. Graf tak berarah (Undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah
2. Graf berarah (directed- graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah
Terminologi / Istilah dasar.
1. Bertetangga (Adjacent)
Dua buah simpul terhubung langsung dengan sebuah sisi.
1 bertetangga dengan 2
3 tidak bertetangga dengan 1
2. Bersisian (Incient)
Sisi yang berhubungan langsung dengan simpul awal dan simpul akhir.
Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3
Sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul 4
3. Simpul terpencil (Isolated Vertex)
Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau simpul yang tidak sarupun bertetangga dengan simpul lainnya.
Simpul 5 adalah simpul terpencil
4. Graf kosong (Null graph atau Empty graph).
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong, ditulis sebagai Nn, dimana n = jumlah simpul.
Contoh : Graf N5
5. Derajat (Degree)
Jumlah sisi yang bersisian dengan Simpul
d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3
Simpul terpencil derajat 0
Sisi gelang atau loopderajat 2
Simpul yang berderajat 1 disebut anting – anting (pendant vertex)
6. Lintasan (Path)
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal ke simpul akhir.
Lintasan sederhana (siple path) adalah lintasan jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali)
Lintasan tertutup (Closed path) adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Lintasan terbuka (open path) adalah lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Contoh :
Lintasan 1,2,4,3 adalah lintasan sederhana juga lintasan terbuka
Lintasan 1,2,4,3,1 lintasan sederhana, juga lintasan tertutup.
Lintasan 1,2,4,3,2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka.
7. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir di simpul yang sama.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi didalam sirkuit terebut.
Sirkuit sederhana (Simple Circuit) jika setiap sisi yang dilaluinya berbeda.
Contoh :
Sirkuit 1,2,3,4 memiliki panjang 3
Sirkuit 1,2,,3,1 adalah sirkuit sederhana
Sirkuit 1,2,4,3,2,1 bukan sirkuit sederhana, karena sisi(1,2) dilalui dua kali.
8. Terhubung (Connected)
Dua buah simpul akan terhubung apabila terdapat lintasan antara keduanya.
Terhubung Tidak terhubung
Terhubung kuat Terhubung lemah
( Perhatikan garis 2 ke 1 )
9. Upagraf ( subgraf ) dan komplemen upagraf.
UPAGRAF :
Jika G = ( V , E ) dan G1 = ( V1 , E1 )
Maka : V1 V dan E 1 E
KOMPLEMEN DARI UPAGRAF :
Jika G = ( V , E ) ; G1 = ( V1 , E1 ) dan G2 = ( V2 , E2 )
M a k a : E2 = E - E1
C O N T O H :
G = (V,E) Upagraf, G1 = (V1,E1)
Komplemen dari Upagraf, G2 = (V2, E2)
10. Upagraf merentang (Spanning Subgraph)
Jika G1 = (V1, E1) dan G= (V,E)
Upagraf merentang jika V1 = V atau G1 mengandung semua simpul dari G
Contoh :
a. b. c.
b.Upagraf merentang dari a
c. Bukan upagraf merentang dari a
11. Cut – Set (jembatan/ bridge)
Himpunan yang apabila dibuang menjadi tidak terhubung.
Contoh :
=>
Sisi (2,4),(3,5),(4,6),(5,6) adalah Cut Set atau bridge.
12. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot.
Contohnya :
10 12
8
15 11
9
13. Graf Bipartite
Graf yang memiliki himpunan simpul yang dapat di partisi menjadi dua himpunan x dan y
Notasi : Km.n dimana dan
Contoh :
K 1.3 K 2.3 K 3.3 Graf tripartite
14. Colourable
Simpul – simpulnya dapat diwarnai dengan tidak ada dua simpul berdampingan diwarnai yang sama
Di tulis G.K- Colourable
Contoh :
G.2 Colourable
15. Eksentrisitas
Jarak (distance ) terjauh (maksimal lintasan terpendek)
Notasi : e (v)
Contoh : Eksentrisitas V1= e (V1) = 3 dengan titik eksentrik V4
e (V2) = 2 dengan titik eksentrik V4 dan V5
e (V3) = 2 dengan titik eksentrik V1 dan V6
e (V4) = 3 dengan titik eksentrik V1
14
……………matematika perasaan
R E L A S I
Hubungan antara dua elemen himpunan
Definisi : Jika terdapat himpunan A dan himpunan B, maka relasi R dari A ke B adalah
Sub himpunan A X B
....atau :
RAB A X B
RELASI REFLEKSIF :
Setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri
a A ( a,a ) R atau a A a R a
Contoh : “ x selalu bersama y “ atau x = y
RELASI IREFLEKSIF :
Setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
a A ( a,a ) R atau a A ( a R a )
Contoh : 1. “ x tidak bersama y “
2. ” x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna ”
3. Dalam himpunan bilangan bulat,relasi kurang dari ( < ) dan relasi
lebih dari ( > )
RELASI SIMETRIK :
Relasi R dalam A , setiap pasangan anggota berhubungan satu sama lain.
Jika a terhubung b, maka b terhubung a ( hubungan timbal balik ).
a,b A ( a,b ) R ( b,a ) R
....... ATAU.........
a,b A a R b b R a
Contoh : relasi “ x + y genap “
RELASI ANTI SIMETRIK :
Jika setiap a dan b hanya terhubung salah satunya saja.
a,b A a b [ ( a,b ) R (b,a) R ]
................ATAU................
a,b A a b [ a R b ( bRa ) ]
Contoh : Relasi seperti 5 6 ( 6 5 )
RELASI TRANSITIF
Jika a berhubung b terhubung c maka a terhubung c
Contoh : 5 < 6 dan 6 < 7 maka 5 < 7
RELASI EKIVALEN
Bersifat : - Refleksif
- Simetrik
- Transitif
POSET atau Orde Parsial
Bersifat : - Refleksif
- Anti Simetrik
- Transitif
Definisi : (P, ) adalah sebuah poset, jika berlaku atau maka (P, ) disebut rantai.
Contoh : (P, )
P = {1,2,3,.............,100} dan x y jika dan hanya jika x.y 200
Apakah ini rantai?
Jawaban : (P, ) bukan rantai
Sebab : 90.90 | 200
DIAGRAM HASSE
Diagram Hasse yang dikenal dalam teori graf, merupakan himpunan dari :
Verteks (Node) digambarkan sebagai titik/ noktah atau lingkaran kecil .
Edge (arc) digambarkan sebagai simpul atau garis.
Contoh :
Ditulis : V = {1,2,3,6
E = {(1,2),(1,3),(2,6),(3,6)}
Contoh : dan
Tak ada anggota lain yang mengakibatkan
Maka : b
a
Contoh : x = {2,3,6,12,24,36}
relasi didefinisikan sebagai x y
jika x membagi y. (x membagi habis y).
dimana (x,y x)
Jawaban : v = {2,3,6,12,24,36}
E = {(2,6),(3,6),(6,12),(12,24),(12,36)}
Diagram Hasse :
Contoh : A Semua factor bilangan bulat positif m
Didefinisikan x y habis dibagi oleh x.
Buat diagram Hasse, Untuk :
a. m = 12
b. m = 45
Jawaban : a. A = {1,2,3,4,6,12}
V = {1,2,3,4,6,12}
E = {(1,2),(1,3),(2,4),(2,6),(3,6),(4,12),(6,12)}
Diagram Hasse :
b. A = {1,3,5,9,15,45}
V = {1,3,5,9,15,45}
E = {(1,3),(1,5),(3,9),(5,15),(9,45),(15,45)}
Diagram Hasse :
Contoh : A Sebuah himpunan hingga P(A) adalah himpunan kuasanya
Misalkan : merupakan relasi inklusi pada elemen – elemen dari P(A)
Gambar : diagram Hasse dari (P(A), ), jika :
1. A = {a}
2. B = {a,b}
3. C = {a,b,c}
Jawaban : 1. P(A) ={a} .Himpunan kuasanya {
V = {
E = {({a}, )}
Diagram Hasse :
2. V = { ,{a},{b},{a,b}}
E : {( ,{a}), ( ,{b}),({a},{a,b}), ({b},{a,b})}
Diagram Hasse :
3. V = { ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
E = {( ,{a}),( ,{b}),( {c}),({a},{a,b}),({a},{a,c},({b},{a,b}),({b},{b,c}
({c},{a,c}), ({c},{b,c}), ({a,b},{a,b,c}), ({a,c},{a,b,c}),({b,c},{a,b,c})
Diagram Hasse :
Batas atas dan Batas Bawah
Batas atas yaitu agka – angka atau hal lain yang ada di atas himpunan diketahui
Batas bawah yaitu angka-angka atau hal lain yang ada dibawah himpunan diketahui
Batas bawah Batas atas
Supremium dan Infirium
Supremium yaitu angka-angka atau hal lain terkecil yang ada di atas himpunan diketahui
Infirium yaitu angka-angka atau hal lain terbesar yang ada di bawah himpunan diketahui
Infirium Supremium
Graf Trivial
Graf yang hanya mempunyai satu buah simpul tanpa sebuah sisipun.
Jadi sebuah graf dimungkinkan tidak mempunyai sisi satu buah pun, tetapi simpulnya harus ada minimal satu.
Dengan demikian dinyatakan V tidak bolh kosong, sedangkan E boleh kosong.
V, sebagai himpunan simpul
E, sebagai himpunan sisi.
Sisi ganda (Multiple edges atau paralel edges).
V = {1,2,3,4}
E = {(1,2),(2,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4)}
Sisi (1,3) dan Sisi (3,4)
Dinamakan sisi ganda
Gelang, kalang atau loop.
V= {1,2,3,4}
E={(1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3)}
E = {e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8}
e4
e1 e3 Sisi e8, dinamakan gelang/kalang/loop
e2 e8
e5 e6
e7
Jenis – Jenis Graf berdasarkan sisinya.
1. Graf sederhana (Simple Graph)
Tidak mengandung gelang (loop)maupun sisi ganda (multiple edges).
Contoh : (1) (2)
(4) (3)
Graf Complete atau graf lengkap, jika graf tersebut simpel dan setiap pasangan simpul yang berbeda dihubungkan oleh satu busur.
Graf Complete yang mempunyai n titik dinotasikan Kn.
Kn punya busur.
Bukti :
2. Graf tak sederhana (Unsimple Graph)
Mengandung sisi ganda atau gelang.
Terdiri 2 macam graph :
a. graph ganda (multigraph)
mengandung sisi ganda
b. graph semu (pseudograph)
Mengandung gelang
Jenis – jenis Graf berdasarkan jumlah simpul
1. Graf berhingga (limited graph)
Graf yang jumlah simpulnya n, berhingga
2. Graf tak terhingga (Unlimited graph)
Graf yang jumlah simpulnya n, tak terhingga
Jenis – jenis Graf berdasarkan arah sisi.
1. Graf tak berarah (Undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah
2. Graf berarah (directed- graph atau digraph)
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah
Terminologi / Istilah dasar.
1. Bertetangga (Adjacent)
Dua buah simpul terhubung langsung dengan sebuah sisi.
1 bertetangga dengan 2
3 tidak bertetangga dengan 1
2. Bersisian (Incient)
Sisi yang berhubungan langsung dengan simpul awal dan simpul akhir.
Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3
Sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul 4
3. Simpul terpencil (Isolated Vertex)
Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau simpul yang tidak sarupun bertetangga dengan simpul lainnya.
Simpul 5 adalah simpul terpencil
4. Graf kosong (Null graph atau Empty graph).
Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong, ditulis sebagai Nn, dimana n = jumlah simpul.
Contoh : Graf N5
5. Derajat (Degree)
Jumlah sisi yang bersisian dengan Simpul
d(1) = d(4) = 2
d(2) = d(3) = 3
Simpul terpencil derajat 0
Sisi gelang atau loopderajat 2
Simpul yang berderajat 1 disebut anting – anting (pendant vertex)
6. Lintasan (Path)
Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal ke simpul akhir.
Lintasan sederhana (siple path) adalah lintasan jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali)
Lintasan tertutup (Closed path) adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Lintasan terbuka (open path) adalah lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Contoh :
Lintasan 1,2,4,3 adalah lintasan sederhana juga lintasan terbuka
Lintasan 1,2,4,3,1 lintasan sederhana, juga lintasan tertutup.
Lintasan 1,2,4,3,2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka.
7. Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
Lintasan yang berawal dan berakhir di simpul yang sama.
Panjang sirkuit adalah jumlah sisi didalam sirkuit terebut.
Sirkuit sederhana (Simple Circuit) jika setiap sisi yang dilaluinya berbeda.
Contoh :
Sirkuit 1,2,3,4 memiliki panjang 3
Sirkuit 1,2,,3,1 adalah sirkuit sederhana
Sirkuit 1,2,4,3,2,1 bukan sirkuit sederhana, karena sisi(1,2) dilalui dua kali.
8. Terhubung (Connected)
Dua buah simpul akan terhubung apabila terdapat lintasan antara keduanya.
Terhubung Tidak terhubung
Terhubung kuat Terhubung lemah
( Perhatikan garis 2 ke 1 )
9. Upagraf ( subgraf ) dan komplemen upagraf.
UPAGRAF :
Jika G = ( V , E ) dan G1 = ( V1 , E1 )
Maka : V1 V dan E 1 E
KOMPLEMEN DARI UPAGRAF :
Jika G = ( V , E ) ; G1 = ( V1 , E1 ) dan G2 = ( V2 , E2 )
M a k a : E2 = E - E1
C O N T O H :
G = (V,E) Upagraf, G1 = (V1,E1)
Komplemen dari Upagraf, G2 = (V2, E2)
10. Upagraf merentang (Spanning Subgraph)
Jika G1 = (V1, E1) dan G= (V,E)
Upagraf merentang jika V1 = V atau G1 mengandung semua simpul dari G
Contoh :
a. b. c.
b.Upagraf merentang dari a
c. Bukan upagraf merentang dari a
11. Cut – Set (jembatan/ bridge)
Himpunan yang apabila dibuang menjadi tidak terhubung.
Contoh :
=>
Sisi (2,4),(3,5),(4,6),(5,6) adalah Cut Set atau bridge.
12. Graf Berbobot (Weighted Graph)
Graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot.
Contohnya :
10 12
8
15 11
9
13. Graf Bipartite
Graf yang memiliki himpunan simpul yang dapat di partisi menjadi dua himpunan x dan y
Notasi : Km.n dimana dan
Contoh :
K 1.3 K 2.3 K 3.3 Graf tripartite
14. Colourable
Simpul – simpulnya dapat diwarnai dengan tidak ada dua simpul berdampingan diwarnai yang sama
Di tulis G.K- Colourable
Contoh :
G.2 Colourable
15. Eksentrisitas
Jarak (distance ) terjauh (maksimal lintasan terpendek)
Notasi : e (v)
Contoh : Eksentrisitas V1= e (V1) = 3 dengan titik eksentrik V4
e (V2) = 2 dengan titik eksentrik V4 dan V5
e (V3) = 2 dengan titik eksentrik V1 dan V6
e (V4) = 3 dengan titik eksentrik V1
14
TRANSENDEN
TRANSENDEN
DEFINISI :
FUNGSI : Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain.
Bentuk :
Dimana : y = dependent variabel
a = konstanta
b = koefisian variabel x
x = independent variabel
Jenis – jenis fungsi :
FUNGSI
I
FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON – ALJABAR
(TRANSENDEN)
FUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI RASIONAL
- FUNGSI EKSPONENSIAL
o FUNGSI POLINOM FUNGSI PANGKAT - FUNGSI LOGARITMIK
o FUNGSI LINIER - FUNGSI TRIGONOMETRIK
o FUNGSI KUADRAT - FUNGSI HIPERBOLIK
o FUNGSI KUBIK
o FUNGSI BIKUADRAT
FUNGSI EKSPONENSIAL
Yaitu : Fungsi yang variable bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol
dimana
Notasi : atau
Dimana e = basis logaritma natural
e = ± 2.71828183
Grafik : Y
Perhatikan :
Grafik selalu positif sebagai fungsi variabel real
Nilai bertambah dari kiri ke kanan
Grafik tidak akan pernah menyentuh sumbu x (namun mendekati sumbu secara asimptotik
X
0
Sifat : Menggunakan logaritma natural, dapat didefinisikan :
Apabila : a =e, maka berlaku : = ex.1 = ex
Rumus – rumus Eksponensial:
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. ax+y = ax.a y
4. a x y= (ax)y
5.
6.
7.
8.
Turunan dan persamaan diferensial
Fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri
Untuk fungsi eksponensial dengan basis lain.
Semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.
Definisi formal :
1. Sebagai deret tak terhingga :
2. Sebagai Limit .
Nilai numerik :
Persamaan Eksponensial
1. maka f(x)=g(x)
2. maka f(x)=0
3. penyelesaian gunakan sifat bilangan berpangkat
4. penyelesaian ada 4 kemungkinan .
4.1.
4.2.
4.3. jika g(x) dan h(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil.
4.4. asalkan g(x)>0 dan h(x)>0
FUNGSI HIPERBOLIK
Yaitu : Fungsi yang variable bebasnya merupakan bilangan- bilangan goneometrik.
Didefinisikan :
1. x =
2. x =
3. x =
4. x =
5. x =
6. x=
Identitas :
1. Cosh2 x – Sinh2 x = 1
2. 1 – tanh2 x = Sech2x
3. Coth2x-1 = Cosech2x
4. Sinh (x+y) = Sinh x Cosh y + Cosh x Sinh y
5. Cosh (x+y) = Cosh x Cosh y +Sinh x Sinh y
6. Cosh x + Sinh x = ex
7. Cosh x – Sinh x = e-x
8. Sinh 2x = 2 Sinh c Cosh x
9. Cosh 2x = Cosh2x +Sinh2x = 2 Sinh2x+1=2Cosh2x-1
10. Cosh(-x)= Coshx
11. Sinh (-x) = -Sinh x
12. Sinh (x-y) = Sinh x Cosh y – Cosh x Sinh y
13. Cosh (x-y) =Cosh x Cosh y –Sinh x Sinh y
14. tanh (x+y) =
15. tanh (x+y) =
16. tanh 2x =
17. Cosh x =
18. Sinh x =±
19. Sinh x + Sinh y = 2 Sinh
20. Cosh x + Cosh y = 2 Cosh
Turunan dan Integral :
1. Untuk y = Sinh u → y1 = Dx
→ u + c
2. Untuk y = Cosh u → y1= Sinh u.u1 → u du = Cosh u+c
3. Untuk y = tanh u → y1= Sech2 u.u1 → u du = tanh u+c
4. Untuk y = Coth u → y1= Cosech2 u.u1 → u du = - Coth u+c
5. Untuk y = Sech u → y1=-Sech u tanh uu1 → tanh u du = -Sech u+c
6. Untuk y = Cosech u → y1= -Cosech u Coth uu1 → Cosech u Coth u du = -Coshech u+c
FUNGSI LOGARITMA
Yaitu : Fungsi balik (Inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.
Rumus dasar Logaritma
dimana b = basis/ bilangan pokok
a = Numerus
c = eksponen/ hasil logaritma
grafik:
ditulis log a
ditulis In a
ditulis Id a
Rumus – Rumus :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Identitas Logaritma
1.
2.
3.
4.
Turunan fungsi logaritma:
atau
Dimana : ln = logaritma natural = logaritma berbasis e
Integral fungsi logaritma :
Integral logaritma berbasis e :
FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri bermula dengan segitiga tegak yang salah satu sudut tegaknya 90o atau
C r = AC = Sisi terpanjang (hipotenusa) = Sisi Miring
r x = AB = sisi alas
y y = BC = Sisi tegak = sisi depan
A B
x
didefinisikan : Sin = = Sisi depan
Cos = = Sisi alas
Tan = = Sisi depan
Formula :
1. Identitas Pythagoras :
Sin2 A + Cos2 A = 1
1+tan2A = Sec2A
1+Cot2A = Cosec2A
2. Identitas jumlah dan kurang :
Sin (A+B) = SinA Cos B + Cos A SinB
Sin (A-B) = Sin A Cos B – Cos A Sin B
Cos (A+B) = Cos A Cos B – Sin A Sin B
Cos (A-B) = Cos A Cos B + Sin A Sin B
Tan (A+B) =
Tan (A-B) =
3. Identitas sudut ganda
Sin 2ª = 2 Sin A Cos A
Cos 2ª = Cos2A – Sin2A = aCos2A – 1=1 – 2 Sin2A
Tan 2ª =
4. Identitas Sudut setengah
Sin
Cos
Tan
Rumus bagi fungsi Trigonometri
Jika f(x)adalah fungsi sembarang dari trigonometri, maka :
a) f(x)} = Cos f(x).
b) f(x)} = - Sin f(x).f1(x)
c) f(x)} = Sec2 f(x).
d) f(x)} = -Cosec2 f(x).
e) f(x)} = Sec f(x). tan f(x).
f) f(x)} = -Cosec f(x).Cot f(x).
Sedangkan untuk fungsi langsung, sebagai berikut :
a) Sin x = Cos x
b) Cos x = -Sin x
c) tan x = Sec2x
d) Cot x = -Cosec2x
e) Sec x = Sec x . tan x
f) Cosec x = -Cosec x . Cot x
Contoh :
1) Jika f(x) = x tan x, tentukan f1(x) :
Jawaban : f1(x) = 1, tan x + x Sec2x = tan x +x Sec2x
2) Jika f(x) = Sin 2x, tentukan f1(x).
Jawaban : Sin 2 x = Sin x. Sin x
f1(x) = Cos x Sin x + Sin x Cos x = 2 Sin x Cos x
3) Jika f(x) = tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) =
f1(x) =
f1(x) =
4) Jika f(x) = , carilah f1(3)
Jawaban : f1(x) =
f1(x) =
5) Jika y = x2 + 2 Sin x . Carilah y1
Jawaban : y1 = 2x + 2 Cos x
=> y1 = 2 +2 Cos
y1 =
Rumus : Jika U = f(x) dan y = g (4)
Maka :
Contoh :
1) Jika y = (x2 +1)-3, tentukan y1
Jawaban : misalkan y = 4-3 dan U = x2 + 1
Maka : =(-3U -4)(2x)
- 3 (x2 +1)-4 (2x)
-6x (x2+1)-4
2) Jika f(x) = Cos 3x, tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) = (-Sin 3x) (3) = -3 Sin 3x
3) Jika f(x) = Cos3x, tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) = 3 (Cos x)2 ( - Sin x)
f1(x) = -3 Cos2x Sin x
4) Jika y = U3 – 2U dan U = x -
Cari y1 = untuk x = 2
Jawaban :
(3U2 – 2) (1+ )
Bila x = 2, maka U = 2 - =
Jadi :
5) Jika y = f (x2 + 1) dan diberi f1(x) =
Tentukan
Jawaban : f1 (x2+1)(2x) =
Rumus: Jika y = f(u) ; u = f(v) dan v = f(x)
Maka : =
Contoh : Jika y = Cos [x+Sin (x+1)]
Tentukan : y1
Jawaban : Misalkan :v = x +1
U = v – 1+Sin v
y = Cos. U
Maka : y1 = =
y1 = -Sin U. (1+Cos v).1
y1 = - Sin [x+Sin(x+1)].[1+Cos(x+1)]
Turunan lebih tinggi
Penulisan :
Turunan kedua : y11
Turunan ketiga : y111 =
Turunan keempat : y(4) =
.............................dst
Contoh :
(1). Carilah turunan ketiga dari : y = tan 3x
Jawaban : y1 = 3 Sec23x
y11 = 3 (2 Sec 3x) (3 Sec 3x. tan 3x)
y11 = 18 Sec23 x tan 3x .
y111 = 18 (2 Sec 3x) (3 Sec 3 x tan 3x) tan 3x + 18 Sec23x ( 3 Sec23x)
y111= 108 Sec2 3x tan2 3x + 54 Sec4 3x
(2). Carilah turunan ke – n dari f(x) =
Jawaban :
(3).Cari turunan ke-empat dari : f(t) = t2 -
Jawaban :
DEFINISI :
FUNGSI : Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara suatu variabel dengan variabel lain.
Bentuk :
Dimana : y = dependent variabel
a = konstanta
b = koefisian variabel x
x = independent variabel
Jenis – jenis fungsi :
FUNGSI
I
FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON – ALJABAR
(TRANSENDEN)
FUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI RASIONAL
- FUNGSI EKSPONENSIAL
o FUNGSI POLINOM FUNGSI PANGKAT - FUNGSI LOGARITMIK
o FUNGSI LINIER - FUNGSI TRIGONOMETRIK
o FUNGSI KUADRAT - FUNGSI HIPERBOLIK
o FUNGSI KUBIK
o FUNGSI BIKUADRAT
FUNGSI EKSPONENSIAL
Yaitu : Fungsi yang variable bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol
dimana
Notasi : atau
Dimana e = basis logaritma natural
e = ± 2.71828183
Grafik : Y
Perhatikan :
Grafik selalu positif sebagai fungsi variabel real
Nilai bertambah dari kiri ke kanan
Grafik tidak akan pernah menyentuh sumbu x (namun mendekati sumbu secara asimptotik
X
0
Sifat : Menggunakan logaritma natural, dapat didefinisikan :
Apabila : a =e, maka berlaku : = ex.1 = ex
Rumus – rumus Eksponensial:
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. ax+y = ax.a y
4. a x y= (ax)y
5.
6.
7.
8.
Turunan dan persamaan diferensial
Fungsi ex jika diturunkan, hasilnya adalah fungsi itu sendiri
Untuk fungsi eksponensial dengan basis lain.
Semua fungsi eksponensial adalah perkalian turunannya sendiri dengan sebuah konstanta.
Definisi formal :
1. Sebagai deret tak terhingga :
2. Sebagai Limit .
Nilai numerik :
Persamaan Eksponensial
1. maka f(x)=g(x)
2. maka f(x)=0
3. penyelesaian gunakan sifat bilangan berpangkat
4. penyelesaian ada 4 kemungkinan .
4.1.
4.2.
4.3. jika g(x) dan h(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil.
4.4. asalkan g(x)>0 dan h(x)>0
FUNGSI HIPERBOLIK
Yaitu : Fungsi yang variable bebasnya merupakan bilangan- bilangan goneometrik.
Didefinisikan :
1. x =
2. x =
3. x =
4. x =
5. x =
6. x=
Identitas :
1. Cosh2 x – Sinh2 x = 1
2. 1 – tanh2 x = Sech2x
3. Coth2x-1 = Cosech2x
4. Sinh (x+y) = Sinh x Cosh y + Cosh x Sinh y
5. Cosh (x+y) = Cosh x Cosh y +Sinh x Sinh y
6. Cosh x + Sinh x = ex
7. Cosh x – Sinh x = e-x
8. Sinh 2x = 2 Sinh c Cosh x
9. Cosh 2x = Cosh2x +Sinh2x = 2 Sinh2x+1=2Cosh2x-1
10. Cosh(-x)= Coshx
11. Sinh (-x) = -Sinh x
12. Sinh (x-y) = Sinh x Cosh y – Cosh x Sinh y
13. Cosh (x-y) =Cosh x Cosh y –Sinh x Sinh y
14. tanh (x+y) =
15. tanh (x+y) =
16. tanh 2x =
17. Cosh x =
18. Sinh x =±
19. Sinh x + Sinh y = 2 Sinh
20. Cosh x + Cosh y = 2 Cosh
Turunan dan Integral :
1. Untuk y = Sinh u → y1 = Dx
→ u + c
2. Untuk y = Cosh u → y1= Sinh u.u1 → u du = Cosh u+c
3. Untuk y = tanh u → y1= Sech2 u.u1 → u du = tanh u+c
4. Untuk y = Coth u → y1= Cosech2 u.u1 → u du = - Coth u+c
5. Untuk y = Sech u → y1=-Sech u tanh uu1 → tanh u du = -Sech u+c
6. Untuk y = Cosech u → y1= -Cosech u Coth uu1 → Cosech u Coth u du = -Coshech u+c
FUNGSI LOGARITMA
Yaitu : Fungsi balik (Inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.
Rumus dasar Logaritma
dimana b = basis/ bilangan pokok
a = Numerus
c = eksponen/ hasil logaritma
grafik:
ditulis log a
ditulis In a
ditulis Id a
Rumus – Rumus :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Identitas Logaritma
1.
2.
3.
4.
Turunan fungsi logaritma:
atau
Dimana : ln = logaritma natural = logaritma berbasis e
Integral fungsi logaritma :
Integral logaritma berbasis e :
FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi Trigonometri bermula dengan segitiga tegak yang salah satu sudut tegaknya 90o atau
C r = AC = Sisi terpanjang (hipotenusa) = Sisi Miring
r x = AB = sisi alas
y y = BC = Sisi tegak = sisi depan
A B
x
didefinisikan : Sin = = Sisi depan
Cos = = Sisi alas
Tan = = Sisi depan
Formula :
1. Identitas Pythagoras :
Sin2 A + Cos2 A = 1
1+tan2A = Sec2A
1+Cot2A = Cosec2A
2. Identitas jumlah dan kurang :
Sin (A+B) = SinA Cos B + Cos A SinB
Sin (A-B) = Sin A Cos B – Cos A Sin B
Cos (A+B) = Cos A Cos B – Sin A Sin B
Cos (A-B) = Cos A Cos B + Sin A Sin B
Tan (A+B) =
Tan (A-B) =
3. Identitas sudut ganda
Sin 2ª = 2 Sin A Cos A
Cos 2ª = Cos2A – Sin2A = aCos2A – 1=1 – 2 Sin2A
Tan 2ª =
4. Identitas Sudut setengah
Sin
Cos
Tan
Rumus bagi fungsi Trigonometri
Jika f(x)adalah fungsi sembarang dari trigonometri, maka :
a) f(x)} = Cos f(x).
b) f(x)} = - Sin f(x).f1(x)
c) f(x)} = Sec2 f(x).
d) f(x)} = -Cosec2 f(x).
e) f(x)} = Sec f(x). tan f(x).
f) f(x)} = -Cosec f(x).Cot f(x).
Sedangkan untuk fungsi langsung, sebagai berikut :
a) Sin x = Cos x
b) Cos x = -Sin x
c) tan x = Sec2x
d) Cot x = -Cosec2x
e) Sec x = Sec x . tan x
f) Cosec x = -Cosec x . Cot x
Contoh :
1) Jika f(x) = x tan x, tentukan f1(x) :
Jawaban : f1(x) = 1, tan x + x Sec2x = tan x +x Sec2x
2) Jika f(x) = Sin 2x, tentukan f1(x).
Jawaban : Sin 2 x = Sin x. Sin x
f1(x) = Cos x Sin x + Sin x Cos x = 2 Sin x Cos x
3) Jika f(x) = tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) =
f1(x) =
f1(x) =
4) Jika f(x) = , carilah f1(3)
Jawaban : f1(x) =
f1(x) =
5) Jika y = x2 + 2 Sin x . Carilah y1
Jawaban : y1 = 2x + 2 Cos x
=> y1 = 2 +2 Cos
y1 =
Rumus : Jika U = f(x) dan y = g (4)
Maka :
Contoh :
1) Jika y = (x2 +1)-3, tentukan y1
Jawaban : misalkan y = 4-3 dan U = x2 + 1
Maka : =(-3U -4)(2x)
- 3 (x2 +1)-4 (2x)
-6x (x2+1)-4
2) Jika f(x) = Cos 3x, tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) = (-Sin 3x) (3) = -3 Sin 3x
3) Jika f(x) = Cos3x, tentukan f1(x)
Jawaban : f1(x) = 3 (Cos x)2 ( - Sin x)
f1(x) = -3 Cos2x Sin x
4) Jika y = U3 – 2U dan U = x -
Cari y1 = untuk x = 2
Jawaban :
(3U2 – 2) (1+ )
Bila x = 2, maka U = 2 - =
Jadi :
5) Jika y = f (x2 + 1) dan diberi f1(x) =
Tentukan
Jawaban : f1 (x2+1)(2x) =
Rumus: Jika y = f(u) ; u = f(v) dan v = f(x)
Maka : =
Contoh : Jika y = Cos [x+Sin (x+1)]
Tentukan : y1
Jawaban : Misalkan :v = x +1
U = v – 1+Sin v
y = Cos. U
Maka : y1 = =
y1 = -Sin U. (1+Cos v).1
y1 = - Sin [x+Sin(x+1)].[1+Cos(x+1)]
Turunan lebih tinggi
Penulisan :
Turunan kedua : y11
Turunan ketiga : y111 =
Turunan keempat : y(4) =
.............................dst
Contoh :
(1). Carilah turunan ketiga dari : y = tan 3x
Jawaban : y1 = 3 Sec23x
y11 = 3 (2 Sec 3x) (3 Sec 3x. tan 3x)
y11 = 18 Sec23 x tan 3x .
y111 = 18 (2 Sec 3x) (3 Sec 3 x tan 3x) tan 3x + 18 Sec23x ( 3 Sec23x)
y111= 108 Sec2 3x tan2 3x + 54 Sec4 3x
(2). Carilah turunan ke – n dari f(x) =
Jawaban :
(3).Cari turunan ke-empat dari : f(t) = t2 -
Jawaban :
BILANGAN KOMPLEKS (BUKU KE 3)
BILANGAN KOMPLEKS
( BUKU KETIGA )
Oleh : AGUS K DJAHARI
FUNGSI EKSPONENSIAL
f (x) = ax , dimana a › 0 dan a ≠ 0
Fungsi eksponen didefinisikan sebagai invers dari logaritma, atau dapat di notasikan :
y = e x ↔ x = ln y
Turunan langsung dari definisi diatas :
1. eln y = y
2. ln ex = x
Turunan dan integral dari eksponen :
Dx ( eu ) = e u du/dx ↔ ∫ eu du = eu + C
Contoh : ax = ex ln a , maka :
1. Dx [ au ] = ( ln a ) au du/dx
2. ∫ au du = 1 a4 + c
ln a
contoh:
jadi:
Sifat eksponen nyata bagi sembarang x dan y :
a)
b)
c)
Untuk mendapatkan terbitan bagi = bx digunakan takrif bx = ex ln b maka:
Contoh:
Cari jika
Jawab:
Contoh:
Cari jika
Jawab :
Rumus:
Contoh:
Cari :
Jawab:
Contoh:
Cari:
Jawab: misalkan u = ex dan du = exdx
Maka:
FUNGSI HIPERBOLIK
Takrif:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Identitas
1.
Jadi:
2.
Terbitan:
1. jika
2.
3.
4.
5.
6.
Contoh: Cari terbitan bagi
Jawab:
Contoh: Cari untuk
Jawab:
Contoh: Nilaikan
Jawab:
FUNGSI LOGARITMA
Sifat : 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Bilangan natural :
1)
2)
3)
Secara Umum :
1)
atau :
2)
3) untuk
4) untuk
Turunan dan intergal dari eksponen natural :
Misalkan a > 0 dan , didefinisikan , maka :
a)
b)
Misalkan maka
Secara umum :
Logaritma Dasar b
Jika atau jika dan hanya jika
maka :
Jadi :
Contoh : Cari jika f(x) =
Jawab : Misalkan dan
Maka :
Jika : maka
Contoh : Cari jika , jika
Jawab :
Jadi :
Contoh : Cari jika
Jawab:
Maka :
Contoh: Cari titik genting dan nilai ekstrim bagi fungsi f(x) = x2x
Jawab : domain x>0
atau
Jika : maka :
Titik minimum
Fungsi
Maka :
Untuk : atau
Dapat ditulis :
( BUKU KETIGA )
Oleh : AGUS K DJAHARI
FUNGSI EKSPONENSIAL
f (x) = ax , dimana a › 0 dan a ≠ 0
Fungsi eksponen didefinisikan sebagai invers dari logaritma, atau dapat di notasikan :
y = e x ↔ x = ln y
Turunan langsung dari definisi diatas :
1. eln y = y
2. ln ex = x
Turunan dan integral dari eksponen :
Dx ( eu ) = e u du/dx ↔ ∫ eu du = eu + C
Contoh : ax = ex ln a , maka :
1. Dx [ au ] = ( ln a ) au du/dx
2. ∫ au du = 1 a4 + c
ln a
contoh:
jadi:
Sifat eksponen nyata bagi sembarang x dan y :
a)
b)
c)
Untuk mendapatkan terbitan bagi = bx digunakan takrif bx = ex ln b maka:
Contoh:
Cari jika
Jawab:
Contoh:
Cari jika
Jawab :
Rumus:
Contoh:
Cari :
Jawab:
Contoh:
Cari:
Jawab: misalkan u = ex dan du = exdx
Maka:
FUNGSI HIPERBOLIK
Takrif:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Identitas
1.
Jadi:
2.
Terbitan:
1. jika
2.
3.
4.
5.
6.
Contoh: Cari terbitan bagi
Jawab:
Contoh: Cari untuk
Jawab:
Contoh: Nilaikan
Jawab:
FUNGSI LOGARITMA
Sifat : 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Bilangan natural :
1)
2)
3)
Secara Umum :
1)
atau :
2)
3) untuk
4) untuk
Turunan dan intergal dari eksponen natural :
Misalkan a > 0 dan , didefinisikan , maka :
a)
b)
Misalkan maka
Secara umum :
Logaritma Dasar b
Jika atau jika dan hanya jika
maka :
Jadi :
Contoh : Cari jika f(x) =
Jawab : Misalkan dan
Maka :
Jika : maka
Contoh : Cari jika , jika
Jawab :
Jadi :
Contoh : Cari jika
Jawab:
Maka :
Contoh: Cari titik genting dan nilai ekstrim bagi fungsi f(x) = x2x
Jawab : domain x>0
atau
Jika : maka :
Titik minimum
Fungsi
Maka :
Untuk : atau
Dapat ditulis :
BILANGAN KOMPLEKS (BUKU KE 2)
BILANGAN KOMPLEKS
( BUKU SATU )
Oleh : AGUS K DJAHARI
Definisi : Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan real dengan bilangan
imajiner.
Bilangan imajiner : Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif.
Contoh : √-5 , √-7 , √-1000, .....................dst.
Kita definisikan, bahwa :
i = √-1
Oleh karena itu :
√-5 = √-1 X √5 = √5 i
√-7 = √-1 X √7 = √7 i
Operasi bilangan imajiner yang salah : √-5 X √-5 = √-5X-5 = √25 = 5
Seharusnya yang benar,adalah : √-5 X √-5 = √5i X √5i = 5i2 = 5.(-1) = -5
Simbol i memiliki sifat : i2 = ( √-1)2 = -1
i3= i2 x i = -1 x i = -i
i4 = i2 x i2 = -1 x -1 = 1
i5 = i3 x i2 = -i x -1 = i
sareng saterasna...................................
Notasi Bilangan Kompleks :
z = x + yi
menyatakan,bahwa :
x bagian real
i bagian imajiner murni
x dan y keduanya bilangan real
Operasi Bilangan kompleks :
1. Penjumlahan.
Contoh : ( 3 + 2 i ) + ( -2 + 7i ) = ................................
Jawaban :
( 3 + 2i ) + ( -2 + 7i ) = 3 + 2i – 2 + 7i = 1 + 9i.
2. Pengurangan.
Contoh : ( 2 - 3i ) - ( 8 - 2i ) = ......................................
Jawaban :
( 2 - 3i ) - ( 8 - 2 i ) = 2 – 3i - 8 + 2i = -6 - i
1.
3. Perkalian .
Contoh : ( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = ..........................................
Jawaban :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i - 20i2
Ubah i2 = -1 , maka :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i + 20 = 26 - 7i.
4. Pembagian .
Contoh : 2 + 5i = ..............................................
3 + 4i
Jawaban :
2 + 5i = 2 + 5i X 3 - 4i
3 + 4i 3 + 4i 3 - 4i
= ( 2 + 5i )( 3 – 4i )
32 - ( 4i )2
= 6 – 8i + 15i - 20i2 = 6 – 8i + 15i + 20
9 + 16 25
= 26 + 7i = 26 + 7i
25 25 25
5. Pemangkatan.
Contoh : Jika z = 3 – i , tentukan : z3
Jawaban :
z3 = ( 3-i )( 3 – i )( 3 – i )
z3 = ( 9 – 6i – 1 )( 3 – i )
z3 = ( 8 – 6i )( 3 – i )
z3 = 24 – 8i – 18i – 6
z3 = 18 - 27i
2.
BIDANG KOMPLEKS
Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks.
Bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks.
Contoh : Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan Z1, Z2, Z3 dan Z4. Dimana :
Z1= 3+6i
Z2= -3+2i
Z3= -2-2i
Z4= 4-3i
Gambarkan : titik Z1, Z2, Z3 dan Z4 pada bilangan kompleks.
Jawaban :
Y
-6 Z1 (3+6i)
-5
-4
-3
Z2(-3+2i) -2
-1
X
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
*-1
Z3(-2-2i) *-2
*-3 Z4(4-3i)
*-4
Contoh : Z= (x+yi)
Jika Z= 5+ 7 - (√3 X √-2) + i2
i
Tentukan : x dan y
Gambarkan : Dalam bidang kompleks.
3.
Jawaban : Z= 5+7 – (√3 X √-2)+ i2
i
Z= 5+7 X i - (√3 X √-2 X i) – 1
i i
Z= 5+ 7i + √6i
i2
Z= 5- 7i + √6i
Z= 5+(√6-7) i
Maka : x=5 dan y =(√6-7)
Lokasi titik Z:
Y
-2
-1
X
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
*-1
*-2
*-3
*-4
Z (5+(√6-7) i)
*-5
Contoh : Z = (x+yi)
Tentukan nilai x dan y dari bilangan : a. 0
b.5
c.√-5
Jawaban :
a) 0 = 0+0i, jadi x=0 dan y=0
b) 5 = 5+0i, jadi x=5 dan y=0
c) √-5 = 0 + √5i, jadi x=0 dan y= √5
Contoh : Jika Z1=Z2=Z3
Z1=c+ai
Z2=b+2ci
Z3=a+2 – di
Tentukan a, b, c, d, dan Z1, Z2, dan Z3
4.
Jawaban : p+qi = r+Si jika dan hanya jika p=r dan q=s
Untuk itu : Z1 = Z2 = Z3
c+ai=b+2ci=a+2-di
Maka : c=b=a+2...........................................(1)
A=2c=-d............................................(2)
Apabila kita ambil c=a+2 disubstitusikan ke a =2c
Menjadi : a=2c
a=2(a+2)
a=2a+4
a=-4
Karena a=- d maka d=4
Sedangkanc=a+2 maka c=-4+2= - 2 dan b=c= - 2.
Tos kitu kenging nilai a =-4, b = -2, c = -2, d = 4
Jadi : Z1 = Z2 = Z3 = c+ai = -2 - 4i
5.
A. SKEMA BILANGAN.
1. Bilangan Asli : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu-
lat positif.
A = { 1,2,3,4,5,6,...........}
2. Bilangan Prima : Bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan sa-
tu,kecuali angka1.
P = { 2,3,5,7,11,13,........}
3.Bilangan Cacah : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu –
lat positif digabung dengan nol.
C = { 0,1,2,3,4,5,6,.........}
4. Bilangan Bulat : Bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat,ne
gatif,nol dan positif.
B = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
5. Bilangan Rasional : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai :
a/b dimana a,b anggota bil.bulat dan b ≠ 0 atau dapat di –
nyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh : 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain-lain.
6. Bilangan Irasional : Bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan se
bagai suatu desimal berulang.
Contoh : log 2, √7 , 2- √5 , e , dll.
7. Bilangan riil : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan irasional.
Contoh : log 10, 5/8 , -3 , 0, 3 dll.
8. Bilangan imajiner : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan ima
jiner ) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang ber
sifat i2 = -1
Contoh : i, 4i, 5i,
9. Bilangan kompleks : Bilangan yang anggota-anggotanya ( a + bi ) , dimana a,b
anggota bilangan riil ; i2 = -1, dengan a bagian riil dan b ba
gian imajiner.
Contoh : 2-3i, 8 + 2
B. BILANGAN KOMPLEKS.
Bilangan berbentuk : a + bi dimana a dan b adalah bilangan riil,dan i adalah bila
ngan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i2 = -1.
Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3+2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Himpunan bilangan kompleks,umumnya dinotasikan dengan C.
Bilangan real, R dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menya
takan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks : a = a + 0i.
Bilangan kompleks ditambah,dikurang dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat
Aljabar,seperti : komutatif, asosiatif dan distributif dan dengan persamaan :
i 2 = - 1
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
( a + bi ) - ( c + di ) = ( a – c ) + ( b – d )i
( a + bi )(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ( ac – bd) + (bc + ad)i
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan,himpunan bilangan kom –
pleks membentuk bidang matematika yang berbeda dengan bilangan real,berupa –
aljabar tertutup.
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real ( a,b) dengan ope
rasi sebagai berikut :
( a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d )
( a,b) . (c,d) = ( ac – bd , bc + ad )
Dengan definisi diatas,bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu him
punan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepa
sang bilangan riil ( a,b ), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi
satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks ( a,0 ) dan dengan cara
ini , himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut :
Identitas penjumlahan ( nol ) : ( 0,0 )
Identitas perkalian ( satu ) : ( 1,0 )
Invers penjumlahan ( a,b ) : ( -a, -b )
Invers perkalian bukan nol (a,b) : ( _ a____ , ___-b____ )
a2 + b2 a2 + b2
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
a + b i
Definisi 1 : Cara penulisan;
Bilangan kompleks terurut pasangan bilangan real x,y
Ditulis : z = ( x,y )
Contoh : z1 = (2,4)
z2 = ( 0,-2 )
z3 = ( -3, 4 ½ )
Definisi 2 : Bilangan kompleks yang sama;
z1 = ( x1 , y1 ) dan z2 = ( x2 , y2)
z1 = z2 atau ( x1, y1) = ( x2,y2) bila dan hanya bila :
x1=x2 dan y1 = y2
Contoh : Diketahui z1 = ( 3a+1 , 4 )
Z2= ( a + 9, 2b + 16 )
sedangkan z1 = z2
Tentukan nilai a dan b :
Jawaban : (3a +1, 4 ) = (a + 9, 2b + 16 )
Maka : 3a + 1 = a + 9
3a - a = 9 – 1
2a = 8
a = 4
maka juga : 4 = 2b + 16
-2b = 16 – 4
-2b = 12
B = - 6
Definisi 3 : Penjumlahan bilangan kompleks ;
z1 = ( x1 ,y1 ) dan z2 = ( x2, y2 )
z1 + z2 = (x1,y1) + (x2 + y2) = ( x1+x2 , y1+y2)
Contoh : Diketahui z1 = (2a +1, 4)
Z2 = (-2 a , -1 )
Tentukan : z1 + z2
Jawaban : z1 + z2 = (2a+1,4) +(-2a,-1)
Z1+z2 =( 2a+1-2a, 4-1 )
Z1+z2 = ( 1 , 3 )
Definisi 4 : Perkalian Bilangan kompleks;
Z1 = (x1, y1 ) dan z2 = ( x2,y2 )
Z1 X z2 = (x1,y1) X ( x2,y2) = (x1x2 – y1y2 , x1y2 + x2y1 )
Contoh : Diketahui : z1 = ( 5,2) dan z2= ( 6,3 )
Tentukan : z1 X z2
Jawaban : z1 X z2 = ( 5,2 ) X ( 6,3 )
Z1 X z2 = ( 5X6 – 2X3, 5X3 + 6X2)
Z1 X z2 = ( 30-6 , 15 + 12 )
Z1 X z2 = ( 24 , 27 )
TEOREMA 1 :
Penjumlahan Bilangan kompleks, memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1+ z2 = z 2 + z1
Bukti : z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )
= ( x1 + x2 , y1 + y2 )
Z2 + z1 = ( x2,y2 ) + (x1 + y1)
= ( x2 + x1 , y2 + y1)
Karena x1 ,y1 ,x2 dan y2 adalah bilangan real maka berlaku ;
X1 + x2 = x2 + x1 dan y1 + y2 = y2 + y1
Oleh karenanya terbukti bahwa : z1+z2 = z2 + z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
Bukti : z1 = ( x1 , y1 ) ; z2 = ( x2 , y2 ) dan z3 = ( x3 , y3 )
Maka :
(z1 + z2 ) + z3 = (x1+x2 , y1 + y2) + ( x3 , y3 )
= ( ( x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 )
Karena x1, y1 , x2 , y2 , x3 dan y3 adalah bilangan real,maka ber –
laku :
( x1 + x2 ) + x3 = x1 + ( x2 + x3 )
( y1 + y2) + y3 = y1 + ( y2 + y3 )
Oleh karenanya terbukti bahwa :
( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
TEOREMA 2 :
Perkalian bilangan kompleks memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1 X z2 = z2 X z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 X z2 ) X z3 = z1 X ( z2 X z3 )
c. Hukum distributif : ( z1 + z2 ) X z3 = z1z3 + z2z3
TEOREMA 3 :
Pengurangan bilangan kompleks :
Z = z2 - z1 = ( x2 - x1 , y2 - y1 )
TEOREMA 4 :
Pembagian bilangan kompleks
z2 = ( xax2 + y1y2 , x1y2 – x2y1 )
z1 ( x12 + y12 x12 + y12 )
Contoh : Diketahui : z1 = (3, -1) dan z2 = ( -1 , 1 )
Tentukan : z2 : z1
J awaban : 3 (-1) + (-1) 1 , (3)(1) – (-1)(-1)
32 + (-1 )2 32 + (-1 )2
= - 4 , 2
10 10
= ( - 2/5 , 1/5 }
Definisi 5 :
Nilai mutlak bilangan kompleks : | z | = √ x2 + y2
TEOREMA 5 :
Perkalian nilai mutlak dua bilangan kompleks :
| z1 X z2 | = | z1 | X | z2 |
Definisi 6 :
Bilangan kompleks ( 0,1) kita definisikan sebagai bilangan i
Jadi : i = ( 0,1 )
TEOREMA 6 :
Dari : i = ( 0,1 ) diperoleh i2 = -1
TEOREMA 7 :
Jika x dan y bilangan real ,maka bilangan kompleks z = (x,y) dapat ditulis
Sebagai z = x + yi.
Sebagai catatan : x = bagian real
y = bagian khayal dari z
ditulis : x = R (z)
y = I (z )
Definisi 7 : kompleks sekawan.
z = x + yi kompleks sekawan dengan z = x - yi
ditulis : z = x – yi dibaca : sekawan z
TEOREMA 8 :
Untuk setiap bilangan kompleks : z1 = x1 + y1i dan z2 = x2 + y2i
Berlaku : 1. R (z) ≤ │ R(z) │ ≤ │ z │
2. I (z) ≤ │I(z) │ ≤ │ z │
3. z1 + z2 = z1 + z2
4. z1 X z2 = z1 X z2
5. │z│2 = z X z
BENTUK POLAR :
Z = √ a2 + b2 dan θ = arctan ( b/a) maka : a + bi = z ( cos θ + i sin θ )
Untuk mempersingkat penulisan,bentuk z(cosθ + i sin θ ) juga sering ditulis z cisθ
BENTUK EKSPONEN : zeiθ = z ( cos θ + i sin θ )
( BUKU SATU )
Oleh : AGUS K DJAHARI
Definisi : Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan real dengan bilangan
imajiner.
Bilangan imajiner : Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif.
Contoh : √-5 , √-7 , √-1000, .....................dst.
Kita definisikan, bahwa :
i = √-1
Oleh karena itu :
√-5 = √-1 X √5 = √5 i
√-7 = √-1 X √7 = √7 i
Operasi bilangan imajiner yang salah : √-5 X √-5 = √-5X-5 = √25 = 5
Seharusnya yang benar,adalah : √-5 X √-5 = √5i X √5i = 5i2 = 5.(-1) = -5
Simbol i memiliki sifat : i2 = ( √-1)2 = -1
i3= i2 x i = -1 x i = -i
i4 = i2 x i2 = -1 x -1 = 1
i5 = i3 x i2 = -i x -1 = i
sareng saterasna...................................
Notasi Bilangan Kompleks :
z = x + yi
menyatakan,bahwa :
x bagian real
i bagian imajiner murni
x dan y keduanya bilangan real
Operasi Bilangan kompleks :
1. Penjumlahan.
Contoh : ( 3 + 2 i ) + ( -2 + 7i ) = ................................
Jawaban :
( 3 + 2i ) + ( -2 + 7i ) = 3 + 2i – 2 + 7i = 1 + 9i.
2. Pengurangan.
Contoh : ( 2 - 3i ) - ( 8 - 2i ) = ......................................
Jawaban :
( 2 - 3i ) - ( 8 - 2 i ) = 2 – 3i - 8 + 2i = -6 - i
1.
3. Perkalian .
Contoh : ( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = ..........................................
Jawaban :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i - 20i2
Ubah i2 = -1 , maka :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i + 20 = 26 - 7i.
4. Pembagian .
Contoh : 2 + 5i = ..............................................
3 + 4i
Jawaban :
2 + 5i = 2 + 5i X 3 - 4i
3 + 4i 3 + 4i 3 - 4i
= ( 2 + 5i )( 3 – 4i )
32 - ( 4i )2
= 6 – 8i + 15i - 20i2 = 6 – 8i + 15i + 20
9 + 16 25
= 26 + 7i = 26 + 7i
25 25 25
5. Pemangkatan.
Contoh : Jika z = 3 – i , tentukan : z3
Jawaban :
z3 = ( 3-i )( 3 – i )( 3 – i )
z3 = ( 9 – 6i – 1 )( 3 – i )
z3 = ( 8 – 6i )( 3 – i )
z3 = 24 – 8i – 18i – 6
z3 = 18 - 27i
2.
BIDANG KOMPLEKS
Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks.
Bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks.
Contoh : Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan Z1, Z2, Z3 dan Z4. Dimana :
Z1= 3+6i
Z2= -3+2i
Z3= -2-2i
Z4= 4-3i
Gambarkan : titik Z1, Z2, Z3 dan Z4 pada bilangan kompleks.
Jawaban :
Y
-6 Z1 (3+6i)
-5
-4
-3
Z2(-3+2i) -2
-1
X
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
*-1
Z3(-2-2i) *-2
*-3 Z4(4-3i)
*-4
Contoh : Z= (x+yi)
Jika Z= 5+ 7 - (√3 X √-2) + i2
i
Tentukan : x dan y
Gambarkan : Dalam bidang kompleks.
3.
Jawaban : Z= 5+7 – (√3 X √-2)+ i2
i
Z= 5+7 X i - (√3 X √-2 X i) – 1
i i
Z= 5+ 7i + √6i
i2
Z= 5- 7i + √6i
Z= 5+(√6-7) i
Maka : x=5 dan y =(√6-7)
Lokasi titik Z:
Y
-2
-1
X
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
*-1
*-2
*-3
*-4
Z (5+(√6-7) i)
*-5
Contoh : Z = (x+yi)
Tentukan nilai x dan y dari bilangan : a. 0
b.5
c.√-5
Jawaban :
a) 0 = 0+0i, jadi x=0 dan y=0
b) 5 = 5+0i, jadi x=5 dan y=0
c) √-5 = 0 + √5i, jadi x=0 dan y= √5
Contoh : Jika Z1=Z2=Z3
Z1=c+ai
Z2=b+2ci
Z3=a+2 – di
Tentukan a, b, c, d, dan Z1, Z2, dan Z3
4.
Jawaban : p+qi = r+Si jika dan hanya jika p=r dan q=s
Untuk itu : Z1 = Z2 = Z3
c+ai=b+2ci=a+2-di
Maka : c=b=a+2...........................................(1)
A=2c=-d............................................(2)
Apabila kita ambil c=a+2 disubstitusikan ke a =2c
Menjadi : a=2c
a=2(a+2)
a=2a+4
a=-4
Karena a=- d maka d=4
Sedangkanc=a+2 maka c=-4+2= - 2 dan b=c= - 2.
Tos kitu kenging nilai a =-4, b = -2, c = -2, d = 4
Jadi : Z1 = Z2 = Z3 = c+ai = -2 - 4i
5.
A. SKEMA BILANGAN.
1. Bilangan Asli : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu-
lat positif.
A = { 1,2,3,4,5,6,...........}
2. Bilangan Prima : Bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan sa-
tu,kecuali angka1.
P = { 2,3,5,7,11,13,........}
3.Bilangan Cacah : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu –
lat positif digabung dengan nol.
C = { 0,1,2,3,4,5,6,.........}
4. Bilangan Bulat : Bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat,ne
gatif,nol dan positif.
B = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
5. Bilangan Rasional : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai :
a/b dimana a,b anggota bil.bulat dan b ≠ 0 atau dapat di –
nyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh : 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain-lain.
6. Bilangan Irasional : Bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan se
bagai suatu desimal berulang.
Contoh : log 2, √7 , 2- √5 , e , dll.
7. Bilangan riil : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan irasional.
Contoh : log 10, 5/8 , -3 , 0, 3 dll.
8. Bilangan imajiner : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan ima
jiner ) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang ber
sifat i2 = -1
Contoh : i, 4i, 5i,
9. Bilangan kompleks : Bilangan yang anggota-anggotanya ( a + bi ) , dimana a,b
anggota bilangan riil ; i2 = -1, dengan a bagian riil dan b ba
gian imajiner.
Contoh : 2-3i, 8 + 2
B. BILANGAN KOMPLEKS.
Bilangan berbentuk : a + bi dimana a dan b adalah bilangan riil,dan i adalah bila
ngan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i2 = -1.
Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3+2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Himpunan bilangan kompleks,umumnya dinotasikan dengan C.
Bilangan real, R dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menya
takan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks : a = a + 0i.
Bilangan kompleks ditambah,dikurang dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat
Aljabar,seperti : komutatif, asosiatif dan distributif dan dengan persamaan :
i 2 = - 1
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
( a + bi ) - ( c + di ) = ( a – c ) + ( b – d )i
( a + bi )(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ( ac – bd) + (bc + ad)i
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan,himpunan bilangan kom –
pleks membentuk bidang matematika yang berbeda dengan bilangan real,berupa –
aljabar tertutup.
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real ( a,b) dengan ope
rasi sebagai berikut :
( a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d )
( a,b) . (c,d) = ( ac – bd , bc + ad )
Dengan definisi diatas,bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu him
punan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepa
sang bilangan riil ( a,b ), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi
satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks ( a,0 ) dan dengan cara
ini , himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut :
Identitas penjumlahan ( nol ) : ( 0,0 )
Identitas perkalian ( satu ) : ( 1,0 )
Invers penjumlahan ( a,b ) : ( -a, -b )
Invers perkalian bukan nol (a,b) : ( _ a____ , ___-b____ )
a2 + b2 a2 + b2
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
a + b i
Definisi 1 : Cara penulisan;
Bilangan kompleks terurut pasangan bilangan real x,y
Ditulis : z = ( x,y )
Contoh : z1 = (2,4)
z2 = ( 0,-2 )
z3 = ( -3, 4 ½ )
Definisi 2 : Bilangan kompleks yang sama;
z1 = ( x1 , y1 ) dan z2 = ( x2 , y2)
z1 = z2 atau ( x1, y1) = ( x2,y2) bila dan hanya bila :
x1=x2 dan y1 = y2
Contoh : Diketahui z1 = ( 3a+1 , 4 )
Z2= ( a + 9, 2b + 16 )
sedangkan z1 = z2
Tentukan nilai a dan b :
Jawaban : (3a +1, 4 ) = (a + 9, 2b + 16 )
Maka : 3a + 1 = a + 9
3a - a = 9 – 1
2a = 8
a = 4
maka juga : 4 = 2b + 16
-2b = 16 – 4
-2b = 12
B = - 6
Definisi 3 : Penjumlahan bilangan kompleks ;
z1 = ( x1 ,y1 ) dan z2 = ( x2, y2 )
z1 + z2 = (x1,y1) + (x2 + y2) = ( x1+x2 , y1+y2)
Contoh : Diketahui z1 = (2a +1, 4)
Z2 = (-2 a , -1 )
Tentukan : z1 + z2
Jawaban : z1 + z2 = (2a+1,4) +(-2a,-1)
Z1+z2 =( 2a+1-2a, 4-1 )
Z1+z2 = ( 1 , 3 )
Definisi 4 : Perkalian Bilangan kompleks;
Z1 = (x1, y1 ) dan z2 = ( x2,y2 )
Z1 X z2 = (x1,y1) X ( x2,y2) = (x1x2 – y1y2 , x1y2 + x2y1 )
Contoh : Diketahui : z1 = ( 5,2) dan z2= ( 6,3 )
Tentukan : z1 X z2
Jawaban : z1 X z2 = ( 5,2 ) X ( 6,3 )
Z1 X z2 = ( 5X6 – 2X3, 5X3 + 6X2)
Z1 X z2 = ( 30-6 , 15 + 12 )
Z1 X z2 = ( 24 , 27 )
TEOREMA 1 :
Penjumlahan Bilangan kompleks, memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1+ z2 = z 2 + z1
Bukti : z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )
= ( x1 + x2 , y1 + y2 )
Z2 + z1 = ( x2,y2 ) + (x1 + y1)
= ( x2 + x1 , y2 + y1)
Karena x1 ,y1 ,x2 dan y2 adalah bilangan real maka berlaku ;
X1 + x2 = x2 + x1 dan y1 + y2 = y2 + y1
Oleh karenanya terbukti bahwa : z1+z2 = z2 + z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
Bukti : z1 = ( x1 , y1 ) ; z2 = ( x2 , y2 ) dan z3 = ( x3 , y3 )
Maka :
(z1 + z2 ) + z3 = (x1+x2 , y1 + y2) + ( x3 , y3 )
= ( ( x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 )
Karena x1, y1 , x2 , y2 , x3 dan y3 adalah bilangan real,maka ber –
laku :
( x1 + x2 ) + x3 = x1 + ( x2 + x3 )
( y1 + y2) + y3 = y1 + ( y2 + y3 )
Oleh karenanya terbukti bahwa :
( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
TEOREMA 2 :
Perkalian bilangan kompleks memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1 X z2 = z2 X z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 X z2 ) X z3 = z1 X ( z2 X z3 )
c. Hukum distributif : ( z1 + z2 ) X z3 = z1z3 + z2z3
TEOREMA 3 :
Pengurangan bilangan kompleks :
Z = z2 - z1 = ( x2 - x1 , y2 - y1 )
TEOREMA 4 :
Pembagian bilangan kompleks
z2 = ( xax2 + y1y2 , x1y2 – x2y1 )
z1 ( x12 + y12 x12 + y12 )
Contoh : Diketahui : z1 = (3, -1) dan z2 = ( -1 , 1 )
Tentukan : z2 : z1
J awaban : 3 (-1) + (-1) 1 , (3)(1) – (-1)(-1)
32 + (-1 )2 32 + (-1 )2
= - 4 , 2
10 10
= ( - 2/5 , 1/5 }
Definisi 5 :
Nilai mutlak bilangan kompleks : | z | = √ x2 + y2
TEOREMA 5 :
Perkalian nilai mutlak dua bilangan kompleks :
| z1 X z2 | = | z1 | X | z2 |
Definisi 6 :
Bilangan kompleks ( 0,1) kita definisikan sebagai bilangan i
Jadi : i = ( 0,1 )
TEOREMA 6 :
Dari : i = ( 0,1 ) diperoleh i2 = -1
TEOREMA 7 :
Jika x dan y bilangan real ,maka bilangan kompleks z = (x,y) dapat ditulis
Sebagai z = x + yi.
Sebagai catatan : x = bagian real
y = bagian khayal dari z
ditulis : x = R (z)
y = I (z )
Definisi 7 : kompleks sekawan.
z = x + yi kompleks sekawan dengan z = x - yi
ditulis : z = x – yi dibaca : sekawan z
TEOREMA 8 :
Untuk setiap bilangan kompleks : z1 = x1 + y1i dan z2 = x2 + y2i
Berlaku : 1. R (z) ≤ │ R(z) │ ≤ │ z │
2. I (z) ≤ │I(z) │ ≤ │ z │
3. z1 + z2 = z1 + z2
4. z1 X z2 = z1 X z2
5. │z│2 = z X z
BENTUK POLAR :
Z = √ a2 + b2 dan θ = arctan ( b/a) maka : a + bi = z ( cos θ + i sin θ )
Untuk mempersingkat penulisan,bentuk z(cosθ + i sin θ ) juga sering ditulis z cisθ
BENTUK EKSPONEN : zeiθ = z ( cos θ + i sin θ )
BILANGAN KOMPLEKS (BUKU KE 1)
BILANGAN KOMPLEKS
( BUKU SATU )
Oleh : AGUS K DJAHARI
Definisi : Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan real dengan bilangan
imajiner.
Bilangan imajiner : Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif.
Contoh : √-5 , √-7 , √-1000, .....................dst.
Kita definisikan, bahwa :
i = √-1
Oleh karena itu :
√-5 = √-1 X √5 = √5 i
√-7 = √-1 X √7 = √7 i
Operasi bilangan imajiner yang salah : √-5 X √-5 = √-5X-5 = √25 = 5
Seharusnya yang benar,adalah : √-5 X √-5 = √5i X √5i = 5i2 = 5.(-1) = -5
Simbol i memiliki sifat : i2 = ( √-1)2 = -1
i3= i2 x i = -1 x i = -i
i4 = i2 x i2 = -1 x -1 = 1
i5 = i3 x i2 = -i x -1 = i
sareng saterasna...................................
Notasi Bilangan Kompleks :
z = x + yi
menyatakan,bahwa :
x bagian real
i bagian imajiner murni
x dan y keduanya bilangan real
Operasi Bilangan kompleks :
1. Penjumlahan.
Contoh : ( 3 + 2 i ) + ( -2 + 7i ) = ................................
Jawaban :
( 3 + 2i ) + ( -2 + 7i ) = 3 + 2i – 2 + 7i = 1 + 9i.
2. Pengurangan.
Contoh : ( 2 - 3i ) - ( 8 - 2i ) = ......................................
Jawaban :
( 2 - 3i ) - ( 8 - 2 i ) = 2 – 3i - 8 + 2i = -6 - i
1.
3. Perkalian .
Contoh : ( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = ..........................................
Jawaban :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i - 20i2
Ubah i2 = -1 , maka :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i + 20 = 26 - 7i.
4. Pembagian .
Contoh : 2 + 5i = ..............................................
3 + 4i
Jawaban :
2 + 5i = 2 + 5i X 3 - 4i
3 + 4i 3 + 4i 3 - 4i
= ( 2 + 5i )( 3 – 4i )
32 - ( 4i )2
= 6 – 8i + 15i - 20i2 = 6 – 8i + 15i + 20
9 + 16 25
= 26 + 7i = 26 + 7i
25 25 25
5. Pemangkatan.
Contoh : Jika z = 3 – i , tentukan : z3
Jawaban :
z3 = ( 3-i )( 3 – i )( 3 – i )
z3 = ( 9 – 6i – 1 )( 3 – i )
z3 = ( 8 – 6i )( 3 – i )
z3 = 24 – 8i – 18i – 6
z3 = 18 - 27i
2.
BIDANG KOMPLEKS
Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks.
Bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks.
Contoh : Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan Z1, Z2, Z3 dan Z4. Dimana :
Z1= 3+6i
Z2= -3+2i
Z3= -2-2i
Z4= 4-3i
Gambarkan : titik Z1, Z2, Z3 dan Z4 pada bilangan kompleks.
Jawaban :
Y
-6 Z1 (3+6i)
-5
-4
-3
Z2(-3+2i) -2
-1
X
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
*-1
Z3(-2-2i) *-2
*-3 Z4(4-3i)
*-4
Contoh : Z= (x+yi)
Jika Z= 5+ 7 - (√3 X √-2) + i2
i
Tentukan : x dan y
Gambarkan : Dalam bidang kompleks.
3.
Jawaban : Z= 5+7 – (√3 X √-2)+ i2
i
Z= 5+7 X i - (√3 X √-2 X i) – 1
i i
Z= 5+ 7i + √6i
i2
Z= 5- 7i + √6i
Z= 5+(√6-7) i
Maka : x=5 dan y =(√6-7)
Lokasi titik Z:
Y
-2
-1
X
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
*-1
*-2
*-3
*-4
Z (5+(√6-7) i)
*-5
Contoh : Z = (x+yi)
Tentukan nilai x dan y dari bilangan : a. 0
b.5
c.√-5
Jawaban :
a) 0 = 0+0i, jadi x=0 dan y=0
b) 5 = 5+0i, jadi x=5 dan y=0
c) √-5 = 0 + √5i, jadi x=0 dan y= √5
Contoh : Jika Z1=Z2=Z3
Z1=c+ai
Z2=b+2ci
Z3=a+2 – di
Tentukan a, b, c, d, dan Z1, Z2, dan Z3
4.
Jawaban : p+qi = r+Si jika dan hanya jika p=r dan q=s
Untuk itu : Z1 = Z2 = Z3
c+ai=b+2ci=a+2-di
Maka : c=b=a+2...........................................(1)
A=2c=-d............................................(2)
Apabila kita ambil c=a+2 disubstitusikan ke a =2c
Menjadi : a=2c
a=2(a+2)
a=2a+4
a=-4
Karena a=- d maka d=4
Sedangkanc=a+2 maka c=-4+2= - 2 dan b=c= - 2.
Tos kitu kenging nilai a =-4, b = -2, c = -2, d = 4
Jadi : Z1 = Z2 = Z3 = c+ai = -2 - 4i
5.
A. SKEMA BILANGAN.
1. Bilangan Asli : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu-
lat positif.
A = { 1,2,3,4,5,6,...........}
2. Bilangan Prima : Bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan sa-
tu,kecuali angka1.
P = { 2,3,5,7,11,13,........}
3.Bilangan Cacah : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu –
lat positif digabung dengan nol.
C = { 0,1,2,3,4,5,6,.........}
4. Bilangan Bulat : Bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat,ne
gatif,nol dan positif.
B = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
5. Bilangan Rasional : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai :
a/b dimana a,b anggota bil.bulat dan b ≠ 0 atau dapat di –
nyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh : 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain-lain.
6. Bilangan Irasional : Bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan se
bagai suatu desimal berulang.
Contoh : log 2, √7 , 2- √5 , e , dll.
7. Bilangan riil : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan irasional.
Contoh : log 10, 5/8 , -3 , 0, 3 dll.
8. Bilangan imajiner : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan ima
jiner ) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang ber
sifat i2 = -1
Contoh : i, 4i, 5i,
9. Bilangan kompleks : Bilangan yang anggota-anggotanya ( a + bi ) , dimana a,b
anggota bilangan riil ; i2 = -1, dengan a bagian riil dan b ba
gian imajiner.
Contoh : 2-3i, 8 + 2
B. BILANGAN KOMPLEKS.
Bilangan berbentuk : a + bi dimana a dan b adalah bilangan riil,dan i adalah bila
ngan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i2 = -1.
Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3+2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Himpunan bilangan kompleks,umumnya dinotasikan dengan C.
Bilangan real, R dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menya
takan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks : a = a + 0i.
Bilangan kompleks ditambah,dikurang dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat
Aljabar,seperti : komutatif, asosiatif dan distributif dan dengan persamaan :
i 2 = - 1
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
( a + bi ) - ( c + di ) = ( a – c ) + ( b – d )i
( a + bi )(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ( ac – bd) + (bc + ad)i
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan,himpunan bilangan kom –
pleks membentuk bidang matematika yang berbeda dengan bilangan real,berupa –
aljabar tertutup.
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real ( a,b) dengan ope
rasi sebagai berikut :
( a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d )
( a,b) . (c,d) = ( ac – bd , bc + ad )
Dengan definisi diatas,bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu him
punan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepa
sang bilangan riil ( a,b ), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi
satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks ( a,0 ) dan dengan cara
ini , himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut :
Identitas penjumlahan ( nol ) : ( 0,0 )
Identitas perkalian ( satu ) : ( 1,0 )
Invers penjumlahan ( a,b ) : ( -a, -b )
Invers perkalian bukan nol (a,b) : ( _ a____ , ___-b____ )
a2 + b2 a2 + b2
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
a + b i
Definisi 1 : Cara penulisan;
Bilangan kompleks terurut pasangan bilangan real x,y
Ditulis : z = ( x,y )
Contoh : z1 = (2,4)
z2 = ( 0,-2 )
z3 = ( -3, 4 ½ )
Definisi 2 : Bilangan kompleks yang sama;
z1 = ( x1 , y1 ) dan z2 = ( x2 , y2)
z1 = z2 atau ( x1, y1) = ( x2,y2) bila dan hanya bila :
x1=x2 dan y1 = y2
Contoh : Diketahui z1 = ( 3a+1 , 4 )
Z2= ( a + 9, 2b + 16 )
sedangkan z1 = z2
Tentukan nilai a dan b :
Jawaban : (3a +1, 4 ) = (a + 9, 2b + 16 )
Maka : 3a + 1 = a + 9
3a - a = 9 – 1
2a = 8
a = 4
maka juga : 4 = 2b + 16
-2b = 16 – 4
-2b = 12
B = - 6
Definisi 3 : Penjumlahan bilangan kompleks ;
z1 = ( x1 ,y1 ) dan z2 = ( x2, y2 )
z1 + z2 = (x1,y1) + (x2 + y2) = ( x1+x2 , y1+y2)
Contoh : Diketahui z1 = (2a +1, 4)
Z2 = (-2 a , -1 )
Tentukan : z1 + z2
Jawaban : z1 + z2 = (2a+1,4) +(-2a,-1)
Z1+z2 =( 2a+1-2a, 4-1 )
Z1+z2 = ( 1 , 3 )
Definisi 4 : Perkalian Bilangan kompleks;
Z1 = (x1, y1 ) dan z2 = ( x2,y2 )
Z1 X z2 = (x1,y1) X ( x2,y2) = (x1x2 – y1y2 , x1y2 + x2y1 )
Contoh : Diketahui : z1 = ( 5,2) dan z2= ( 6,3 )
Tentukan : z1 X z2
Jawaban : z1 X z2 = ( 5,2 ) X ( 6,3 )
Z1 X z2 = ( 5X6 – 2X3, 5X3 + 6X2)
Z1 X z2 = ( 30-6 , 15 + 12 )
Z1 X z2 = ( 24 , 27 )
TEOREMA 1 :
Penjumlahan Bilangan kompleks, memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1+ z2 = z 2 + z1
Bukti : z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )
= ( x1 + x2 , y1 + y2 )
Z2 + z1 = ( x2,y2 ) + (x1 + y1)
= ( x2 + x1 , y2 + y1)
Karena x1 ,y1 ,x2 dan y2 adalah bilangan real maka berlaku ;
X1 + x2 = x2 + x1 dan y1 + y2 = y2 + y1
Oleh karenanya terbukti bahwa : z1+z2 = z2 + z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
Bukti : z1 = ( x1 , y1 ) ; z2 = ( x2 , y2 ) dan z3 = ( x3 , y3 )
Maka :
(z1 + z2 ) + z3 = (x1+x2 , y1 + y2) + ( x3 , y3 )
= ( ( x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 )
Karena x1, y1 , x2 , y2 , x3 dan y3 adalah bilangan real,maka ber –
laku :
( x1 + x2 ) + x3 = x1 + ( x2 + x3 )
( y1 + y2) + y3 = y1 + ( y2 + y3 )
Oleh karenanya terbukti bahwa :
( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
TEOREMA 2 :
Perkalian bilangan kompleks memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1 X z2 = z2 X z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 X z2 ) X z3 = z1 X ( z2 X z3 )
c. Hukum distributif : ( z1 + z2 ) X z3 = z1z3 + z2z3
TEOREMA 3 :
Pengurangan bilangan kompleks :
Z = z2 - z1 = ( x2 - x1 , y2 - y1 )
TEOREMA 4 :
Pembagian bilangan kompleks
z2 = ( xax2 + y1y2 , x1y2 – x2y1 )
z1 ( x12 + y12 x12 + y12 )
Contoh : Diketahui : z1 = (3, -1) dan z2 = ( -1 , 1 )
Tentukan : z2 : z1
J awaban : 3 (-1) + (-1) 1 , (3)(1) – (-1)(-1)
32 + (-1 )2 32 + (-1 )2
= - 4 , 2
10 10
= ( - 2/5 , 1/5 }
Definisi 5 :
Nilai mutlak bilangan kompleks : | z | = √ x2 + y2
TEOREMA 5 :
Perkalian nilai mutlak dua bilangan kompleks :
| z1 X z2 | = | z1 | X | z2 |
Definisi 6 :
Bilangan kompleks ( 0,1) kita definisikan sebagai bilangan i
Jadi : i = ( 0,1 )
TEOREMA 6 :
Dari : i = ( 0,1 ) diperoleh i2 = -1
TEOREMA 7 :
Jika x dan y bilangan real ,maka bilangan kompleks z = (x,y) dapat ditulis
Sebagai z = x + yi.
Sebagai catatan : x = bagian real
y = bagian khayal dari z
ditulis : x = R (z)
y = I (z )
Definisi 7 : kompleks sekawan.
z = x + yi kompleks sekawan dengan z = x - yi
ditulis : z = x – yi dibaca : sekawan z
TEOREMA 8 :
Untuk setiap bilangan kompleks : z1 = x1 + y1i dan z2 = x2 + y2i
Berlaku : 1. R (z) ≤ │ R(z) │ ≤ │ z │
2. I (z) ≤ │I(z) │ ≤ │ z │
3. z1 + z2 = z1 + z2
4. z1 X z2 = z1 X z2
5. │z│2 = z X z
BENTUK POLAR :
Z = √ a2 + b2 dan θ = arctan ( b/a) maka : a + bi = z ( cos θ + i sin θ )
Untuk mempersingkat penulisan,bentuk z(cosθ + i sin θ ) juga sering ditulis z cisθ
BENTUK EKSPONEN : zeiθ = z ( cos θ + i sin θ )
( BUKU SATU )
Oleh : AGUS K DJAHARI
Definisi : Bilangan kompleks adalah gabungan antara bilangan real dengan bilangan
imajiner.
Bilangan imajiner : Bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatif.
Contoh : √-5 , √-7 , √-1000, .....................dst.
Kita definisikan, bahwa :
i = √-1
Oleh karena itu :
√-5 = √-1 X √5 = √5 i
√-7 = √-1 X √7 = √7 i
Operasi bilangan imajiner yang salah : √-5 X √-5 = √-5X-5 = √25 = 5
Seharusnya yang benar,adalah : √-5 X √-5 = √5i X √5i = 5i2 = 5.(-1) = -5
Simbol i memiliki sifat : i2 = ( √-1)2 = -1
i3= i2 x i = -1 x i = -i
i4 = i2 x i2 = -1 x -1 = 1
i5 = i3 x i2 = -i x -1 = i
sareng saterasna...................................
Notasi Bilangan Kompleks :
z = x + yi
menyatakan,bahwa :
x bagian real
i bagian imajiner murni
x dan y keduanya bilangan real
Operasi Bilangan kompleks :
1. Penjumlahan.
Contoh : ( 3 + 2 i ) + ( -2 + 7i ) = ................................
Jawaban :
( 3 + 2i ) + ( -2 + 7i ) = 3 + 2i – 2 + 7i = 1 + 9i.
2. Pengurangan.
Contoh : ( 2 - 3i ) - ( 8 - 2i ) = ......................................
Jawaban :
( 2 - 3i ) - ( 8 - 2 i ) = 2 – 3i - 8 + 2i = -6 - i
1.
3. Perkalian .
Contoh : ( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = ..........................................
Jawaban :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i - 20i2
Ubah i2 = -1 , maka :
( 3 + 4i )( 2 – 5i ) = 6 – 15i + 8i + 20 = 26 - 7i.
4. Pembagian .
Contoh : 2 + 5i = ..............................................
3 + 4i
Jawaban :
2 + 5i = 2 + 5i X 3 - 4i
3 + 4i 3 + 4i 3 - 4i
= ( 2 + 5i )( 3 – 4i )
32 - ( 4i )2
= 6 – 8i + 15i - 20i2 = 6 – 8i + 15i + 20
9 + 16 25
= 26 + 7i = 26 + 7i
25 25 25
5. Pemangkatan.
Contoh : Jika z = 3 – i , tentukan : z3
Jawaban :
z3 = ( 3-i )( 3 – i )( 3 – i )
z3 = ( 9 – 6i – 1 )( 3 – i )
z3 = ( 8 – 6i )( 3 – i )
z3 = 24 – 8i – 18i – 6
z3 = 18 - 27i
2.
BIDANG KOMPLEKS
Himpunan bilangan kompleks digambarkan pada bidang kompleks.
Bilangan kompleks digambarkan dengan sebuah titik pada bidang kompleks.
Contoh : Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan Z1, Z2, Z3 dan Z4. Dimana :
Z1= 3+6i
Z2= -3+2i
Z3= -2-2i
Z4= 4-3i
Gambarkan : titik Z1, Z2, Z3 dan Z4 pada bilangan kompleks.
Jawaban :
Y
-6 Z1 (3+6i)
-5
-4
-3
Z2(-3+2i) -2
-1
X
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
*-1
Z3(-2-2i) *-2
*-3 Z4(4-3i)
*-4
Contoh : Z= (x+yi)
Jika Z= 5+ 7 - (√3 X √-2) + i2
i
Tentukan : x dan y
Gambarkan : Dalam bidang kompleks.
3.
Jawaban : Z= 5+7 – (√3 X √-2)+ i2
i
Z= 5+7 X i - (√3 X √-2 X i) – 1
i i
Z= 5+ 7i + √6i
i2
Z= 5- 7i + √6i
Z= 5+(√6-7) i
Maka : x=5 dan y =(√6-7)
Lokasi titik Z:
Y
-2
-1
X
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
*-1
*-2
*-3
*-4
Z (5+(√6-7) i)
*-5
Contoh : Z = (x+yi)
Tentukan nilai x dan y dari bilangan : a. 0
b.5
c.√-5
Jawaban :
a) 0 = 0+0i, jadi x=0 dan y=0
b) 5 = 5+0i, jadi x=5 dan y=0
c) √-5 = 0 + √5i, jadi x=0 dan y= √5
Contoh : Jika Z1=Z2=Z3
Z1=c+ai
Z2=b+2ci
Z3=a+2 – di
Tentukan a, b, c, d, dan Z1, Z2, dan Z3
4.
Jawaban : p+qi = r+Si jika dan hanya jika p=r dan q=s
Untuk itu : Z1 = Z2 = Z3
c+ai=b+2ci=a+2-di
Maka : c=b=a+2...........................................(1)
A=2c=-d............................................(2)
Apabila kita ambil c=a+2 disubstitusikan ke a =2c
Menjadi : a=2c
a=2(a+2)
a=2a+4
a=-4
Karena a=- d maka d=4
Sedangkanc=a+2 maka c=-4+2= - 2 dan b=c= - 2.
Tos kitu kenging nilai a =-4, b = -2, c = -2, d = 4
Jadi : Z1 = Z2 = Z3 = c+ai = -2 - 4i
5.
A. SKEMA BILANGAN.
1. Bilangan Asli : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu-
lat positif.
A = { 1,2,3,4,5,6,...........}
2. Bilangan Prima : Bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan sa-
tu,kecuali angka1.
P = { 2,3,5,7,11,13,........}
3.Bilangan Cacah : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bu –
lat positif digabung dengan nol.
C = { 0,1,2,3,4,5,6,.........}
4. Bilangan Bulat : Bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat,ne
gatif,nol dan positif.
B = { ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
5. Bilangan Rasional : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai :
a/b dimana a,b anggota bil.bulat dan b ≠ 0 atau dapat di –
nyatakan sebagai suatu desimal berulang.
Contoh : 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain-lain.
6. Bilangan Irasional : Bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan se
bagai suatu desimal berulang.
Contoh : log 2, √7 , 2- √5 , e , dll.
7. Bilangan riil : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan irasional.
Contoh : log 10, 5/8 , -3 , 0, 3 dll.
8. Bilangan imajiner : Bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan ima
jiner ) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang ber
sifat i2 = -1
Contoh : i, 4i, 5i,
9. Bilangan kompleks : Bilangan yang anggota-anggotanya ( a + bi ) , dimana a,b
anggota bilangan riil ; i2 = -1, dengan a bagian riil dan b ba
gian imajiner.
Contoh : 2-3i, 8 + 2
B. BILANGAN KOMPLEKS.
Bilangan berbentuk : a + bi dimana a dan b adalah bilangan riil,dan i adalah bila
ngan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i2 = -1.
Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Sebagai contoh, 3+2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Himpunan bilangan kompleks,umumnya dinotasikan dengan C.
Bilangan real, R dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menya
takan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks : a = a + 0i.
Bilangan kompleks ditambah,dikurang dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat
Aljabar,seperti : komutatif, asosiatif dan distributif dan dengan persamaan :
i 2 = - 1
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
( a + bi ) - ( c + di ) = ( a – c ) + ( b – d )i
( a + bi )(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ( ac – bd) + (bc + ad)i
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan,himpunan bilangan kom –
pleks membentuk bidang matematika yang berbeda dengan bilangan real,berupa –
aljabar tertutup.
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real ( a,b) dengan ope
rasi sebagai berikut :
( a,b) + (c,d) = ( a + c, b + d )
( a,b) . (c,d) = ( ac – bd , bc + ad )
Dengan definisi diatas,bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu him
punan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks a + bi merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepa
sang bilangan riil ( a,b ), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi
satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil a dapat disebut juga dengan bilangan kompleks ( a,0 ) dan dengan cara
ini , himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut :
Identitas penjumlahan ( nol ) : ( 0,0 )
Identitas perkalian ( satu ) : ( 1,0 )
Invers penjumlahan ( a,b ) : ( -a, -b )
Invers perkalian bukan nol (a,b) : ( _ a____ , ___-b____ )
a2 + b2 a2 + b2
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
a + b i
Definisi 1 : Cara penulisan;
Bilangan kompleks terurut pasangan bilangan real x,y
Ditulis : z = ( x,y )
Contoh : z1 = (2,4)
z2 = ( 0,-2 )
z3 = ( -3, 4 ½ )
Definisi 2 : Bilangan kompleks yang sama;
z1 = ( x1 , y1 ) dan z2 = ( x2 , y2)
z1 = z2 atau ( x1, y1) = ( x2,y2) bila dan hanya bila :
x1=x2 dan y1 = y2
Contoh : Diketahui z1 = ( 3a+1 , 4 )
Z2= ( a + 9, 2b + 16 )
sedangkan z1 = z2
Tentukan nilai a dan b :
Jawaban : (3a +1, 4 ) = (a + 9, 2b + 16 )
Maka : 3a + 1 = a + 9
3a - a = 9 – 1
2a = 8
a = 4
maka juga : 4 = 2b + 16
-2b = 16 – 4
-2b = 12
B = - 6
Definisi 3 : Penjumlahan bilangan kompleks ;
z1 = ( x1 ,y1 ) dan z2 = ( x2, y2 )
z1 + z2 = (x1,y1) + (x2 + y2) = ( x1+x2 , y1+y2)
Contoh : Diketahui z1 = (2a +1, 4)
Z2 = (-2 a , -1 )
Tentukan : z1 + z2
Jawaban : z1 + z2 = (2a+1,4) +(-2a,-1)
Z1+z2 =( 2a+1-2a, 4-1 )
Z1+z2 = ( 1 , 3 )
Definisi 4 : Perkalian Bilangan kompleks;
Z1 = (x1, y1 ) dan z2 = ( x2,y2 )
Z1 X z2 = (x1,y1) X ( x2,y2) = (x1x2 – y1y2 , x1y2 + x2y1 )
Contoh : Diketahui : z1 = ( 5,2) dan z2= ( 6,3 )
Tentukan : z1 X z2
Jawaban : z1 X z2 = ( 5,2 ) X ( 6,3 )
Z1 X z2 = ( 5X6 – 2X3, 5X3 + 6X2)
Z1 X z2 = ( 30-6 , 15 + 12 )
Z1 X z2 = ( 24 , 27 )
TEOREMA 1 :
Penjumlahan Bilangan kompleks, memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1+ z2 = z 2 + z1
Bukti : z1 + z2 = ( x1 , y1 ) + ( x2 , y2 )
= ( x1 + x2 , y1 + y2 )
Z2 + z1 = ( x2,y2 ) + (x1 + y1)
= ( x2 + x1 , y2 + y1)
Karena x1 ,y1 ,x2 dan y2 adalah bilangan real maka berlaku ;
X1 + x2 = x2 + x1 dan y1 + y2 = y2 + y1
Oleh karenanya terbukti bahwa : z1+z2 = z2 + z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
Bukti : z1 = ( x1 , y1 ) ; z2 = ( x2 , y2 ) dan z3 = ( x3 , y3 )
Maka :
(z1 + z2 ) + z3 = (x1+x2 , y1 + y2) + ( x3 , y3 )
= ( ( x1 + x2 ) + x3 , (y1 + y2 ) + y3 )
Karena x1, y1 , x2 , y2 , x3 dan y3 adalah bilangan real,maka ber –
laku :
( x1 + x2 ) + x3 = x1 + ( x2 + x3 )
( y1 + y2) + y3 = y1 + ( y2 + y3 )
Oleh karenanya terbukti bahwa :
( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
TEOREMA 2 :
Perkalian bilangan kompleks memenuhi :
a. Hukum komutatif : z1 X z2 = z2 X z1
b. Hukum asosiatif : ( z1 X z2 ) X z3 = z1 X ( z2 X z3 )
c. Hukum distributif : ( z1 + z2 ) X z3 = z1z3 + z2z3
TEOREMA 3 :
Pengurangan bilangan kompleks :
Z = z2 - z1 = ( x2 - x1 , y2 - y1 )
TEOREMA 4 :
Pembagian bilangan kompleks
z2 = ( xax2 + y1y2 , x1y2 – x2y1 )
z1 ( x12 + y12 x12 + y12 )
Contoh : Diketahui : z1 = (3, -1) dan z2 = ( -1 , 1 )
Tentukan : z2 : z1
J awaban : 3 (-1) + (-1) 1 , (3)(1) – (-1)(-1)
32 + (-1 )2 32 + (-1 )2
= - 4 , 2
10 10
= ( - 2/5 , 1/5 }
Definisi 5 :
Nilai mutlak bilangan kompleks : | z | = √ x2 + y2
TEOREMA 5 :
Perkalian nilai mutlak dua bilangan kompleks :
| z1 X z2 | = | z1 | X | z2 |
Definisi 6 :
Bilangan kompleks ( 0,1) kita definisikan sebagai bilangan i
Jadi : i = ( 0,1 )
TEOREMA 6 :
Dari : i = ( 0,1 ) diperoleh i2 = -1
TEOREMA 7 :
Jika x dan y bilangan real ,maka bilangan kompleks z = (x,y) dapat ditulis
Sebagai z = x + yi.
Sebagai catatan : x = bagian real
y = bagian khayal dari z
ditulis : x = R (z)
y = I (z )
Definisi 7 : kompleks sekawan.
z = x + yi kompleks sekawan dengan z = x - yi
ditulis : z = x – yi dibaca : sekawan z
TEOREMA 8 :
Untuk setiap bilangan kompleks : z1 = x1 + y1i dan z2 = x2 + y2i
Berlaku : 1. R (z) ≤ │ R(z) │ ≤ │ z │
2. I (z) ≤ │I(z) │ ≤ │ z │
3. z1 + z2 = z1 + z2
4. z1 X z2 = z1 X z2
5. │z│2 = z X z
BENTUK POLAR :
Z = √ a2 + b2 dan θ = arctan ( b/a) maka : a + bi = z ( cos θ + i sin θ )
Untuk mempersingkat penulisan,bentuk z(cosθ + i sin θ ) juga sering ditulis z cisθ
BENTUK EKSPONEN : zeiθ = z ( cos θ + i sin θ )
BASIS BILANGAN
BASIS BILANGAN
Basis = Dasar = Pokok.
Beberapa bilangan yang dipergunakan dalam setiap basis :
Basis 2 digunakan bilangan : 0,1
Basis 3 digunakan bilangan : 0,1,2
Basis 4 digunakan bilangan : 0,1,2,3
Basis 5 digunakan bilangan : 0,1,2,3,4
Basis 6 digunakan bilangan : 0,1,2,3,4,5
Sareng saterasna ..................
Basis bilangan yang dipergunakan dalam keseharian kita adalah basis
bilangan 10.
Mengubah bilangan basis 10 kedalam basis bilangan lain,caranya ada
lah sebagai berikut :
Misalnya kita mau mengubah 24310 kedalam bilangan basis 7 :
Caranya :
7 ∟243 sisa 5
↑
7 ∟ 34 sisa 6
4 → ↑
Maka : 24310 = 4657
Bukti : 4677 = 4 x 72 + 6 x 71 + 5 x 70 = 196 + 42 + 5 = 243
Mengubah basis bukan sepuluh ke basis sepuluh :
Contoh : 2436 ubah ke basis sepuluh
Jawaban : 2436 = 2 x 62 + 4 x 61 + x 60 = 72 + 24 +3 = 99
Mengubah basis besar ke basis kecil
Contoh : 7648 ubah ke basis lima
Jawab : 7648 = 7 x 82 + 6 x 81 + 4 x 80
7648 = 12 (13)2 +11 (13)1 + 4 (13)0
b2 = 12
b2 = 11 + 12 (13) = 1022
b0 = 4 + 1022 (13) = 133415
Mengubah basis kecil ke basis besar :
Contoh : 3456 Ubah ke baris delapan
Jawaban : 3456 = 3 x 62 + 5 x 61 + 4 x 60 = 108 + 30 + 4 = 142
3456 = 14210 = 1 x 102 + 4 x 101 + 2 x 100
3456 = 14210 = 1 (12 )2 + 4 (12)1 + 2 (12) 0
b2 = 1
b1 = 4 + 1 (12) = 16
b1 = 2 + 16 ( 12 ) = 2168
Mengubah basis bilangan pecahan :
Contoh : 1. (0,5)10 ubah ke basis delapan
Jawaban : 8 (0,5)10 = 4,0 → b1 = 4 dan c1= 0
Maka : (0,5)10 = (0,4)8
2. (0,5)10 ubah ke basis dua
Jawaban : 2(0,5)10 = 1,0 → b1 = 1 dan c1 = 0
Maka : (0,5)10 = (0,1) 2
Basis = Dasar = Pokok.
Beberapa bilangan yang dipergunakan dalam setiap basis :
Basis 2 digunakan bilangan : 0,1
Basis 3 digunakan bilangan : 0,1,2
Basis 4 digunakan bilangan : 0,1,2,3
Basis 5 digunakan bilangan : 0,1,2,3,4
Basis 6 digunakan bilangan : 0,1,2,3,4,5
Sareng saterasna ..................
Basis bilangan yang dipergunakan dalam keseharian kita adalah basis
bilangan 10.
Mengubah bilangan basis 10 kedalam basis bilangan lain,caranya ada
lah sebagai berikut :
Misalnya kita mau mengubah 24310 kedalam bilangan basis 7 :
Caranya :
7 ∟243 sisa 5
↑
7 ∟ 34 sisa 6
4 → ↑
Maka : 24310 = 4657
Bukti : 4677 = 4 x 72 + 6 x 71 + 5 x 70 = 196 + 42 + 5 = 243
Mengubah basis bukan sepuluh ke basis sepuluh :
Contoh : 2436 ubah ke basis sepuluh
Jawaban : 2436 = 2 x 62 + 4 x 61 + x 60 = 72 + 24 +3 = 99
Mengubah basis besar ke basis kecil
Contoh : 7648 ubah ke basis lima
Jawab : 7648 = 7 x 82 + 6 x 81 + 4 x 80
7648 = 12 (13)2 +11 (13)1 + 4 (13)0
b2 = 12
b2 = 11 + 12 (13) = 1022
b0 = 4 + 1022 (13) = 133415
Mengubah basis kecil ke basis besar :
Contoh : 3456 Ubah ke baris delapan
Jawaban : 3456 = 3 x 62 + 5 x 61 + 4 x 60 = 108 + 30 + 4 = 142
3456 = 14210 = 1 x 102 + 4 x 101 + 2 x 100
3456 = 14210 = 1 (12 )2 + 4 (12)1 + 2 (12) 0
b2 = 1
b1 = 4 + 1 (12) = 16
b1 = 2 + 16 ( 12 ) = 2168
Mengubah basis bilangan pecahan :
Contoh : 1. (0,5)10 ubah ke basis delapan
Jawaban : 8 (0,5)10 = 4,0 → b1 = 4 dan c1= 0
Maka : (0,5)10 = (0,4)8
2. (0,5)10 ubah ke basis dua
Jawaban : 2(0,5)10 = 1,0 → b1 = 1 dan c1 = 0
Maka : (0,5)10 = (0,1) 2
Langganan:
Postingan (Atom)